Pertidaksamaan trigonometri

Pertidaksamaan trigonometri mirip dengan persamaan trigonometri, hanya saja sebagai pengganti tanda sama dengan ada <, >, ≤, atau ≥. Ambil contoh yang ini:

$$\sin x>\frac{1}{2}$$

Kita mencari semua x yang membuat sinus lebih dari setengah. Sebagian pekerjaan sudah selesai. Persamaan $\sin x=\frac{1}{2}$ sudah kita selesaikan dalam artikel tentang persamaan trigonometri, dan dalam satu putaran diperoleh dua penyelesaian: $\frac{\pi }{6}$ dan $\frac{5\pi }{6}$. Kedua bilangan ini berperan sebagai batas. Di suatu tempat di antara keduanya sinus lebih dari setengah, di tempat lain kurang. Tinggal mencari tahu di mana.

Pada lingkaran satuan

Paling mudah, hal ini kita lihat pada lingkaran satuan. Sinus suatu sudut adalah ordinat (koordinat y) titik pada lingkaran, sehingga pertidaksamaan $\sin x>\frac{1}{2}$ sebenarnya bertanya: titik-titik lingkaran mana yang terletak di atas garis $y=\frac{1}{2}$?

Garis biru memotong lingkaran di dua titik yang bersesuaian dengan sudut $\frac{\pi }{6}$ dan $\frac{5\pi }{6}$. Di atas garis hanya ada busur merah di antara keduanya. Selama kaki sudut berputar berlawanan arah jarum jam dari $\frac{\pi }{6}$ ke $\frac{5\pi }{6}$, sinus lebih dari setengah. Begitu meninggalkan busur, nilainya turun di bawah setengah.

Titik-titik ujung tidak termasuk penyelesaian, karena itu pada gambar keduanya ditandai bulatan kosong. Di titik itu sinus tepat sama dengan $\frac{1}{2}$, sedangkan kita mencari yang benar-benar lebih besar. Jadi, dalam satu putaran diperoleh interval terbuka

$$(\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}).$$

Namun, sinus adalah fungsi periodik dengan periode 2π: setelah setiap putaran penuh, semuanya berulang. Karena itu, kedua ujung kita tambah 2kπ, dan diperoleh hasil

$$x\in (\frac{\pi }{6}+2k\pi ,\frac{5\pi }{6}+2k\pi ),$$

dengan k ∈ ℤ. Untuk k = 0, ini adalah busur pada gambar. Untuk k = 1, ini adalah busur yang sama yang digeser satu putaran, yaitu interval $(\frac{13\pi }{6},\frac{17\pi }{6})$. Penyelesaiannya terdiri atas tak hingga banyaknya interval, yang masing-masing berjarak 2π satu sama lain.

Untuk memastikan, kita periksa hasil ini. Coba $x=\frac{\pi }{2}$, yang terletak di dalam interval. Diperoleh $\sin \frac{\pi }{2}=1$, dan satu memang lebih dari setengah. Sebaliknya, x = π tidak terletak di dalam interval, dan sin π = 0, yang tidak lebih dari setengah. Jadi, hasilnya cocok.

Interval yang melewati nol

Sekarang kosinus:

$$\cos x>\frac{1}{2}$$

Kosinus adalah absis (koordinat x) titik pada lingkaran, sehingga kita mencari titik-titik di sebelah kanan garis tegak yang memotong sumbu mendatar di titik $\frac{1}{2}$. Persamaan $\cos x=\frac{1}{2}$ juga mempunyai dua penyelesaian pada putaran pertama, yaitu $\frac{\pi }{3}$ dan $\frac{5\pi }{3}$ ($\frac{\pi }{3}$ adalah 60° dari tabel sudut istimewa, $\frac{5\pi }{3}$ adalah titik simetrisnya di bawah sumbu x). Busur di sebelah kanan garis dimulai di titik $\frac{5\pi }{3}$ di bawah, melewati nol, dan berakhir di atas, di titik $\frac{\pi }{3}$.

Di sini sangat menggoda untuk menulis

$$(\frac{5\pi }{3},\frac{\pi }{3}).$$

Awas, jebakan! Ujung kiri interval harus lebih kecil daripada ujung kanan, tetapi $\frac{5\pi }{3}$ lebih besar daripada $\frac{\pi }{3}$. Interval seperti itu kosong, karena tidak ada bilangan yang sekaligus lebih besar daripada $\frac{5\pi }{3}$ dan lebih kecil daripada $\frac{\pi }{3}$.

Perbaikannya mudah. Sebagai pengganti $\frac{5\pi }{3}$, kita ambil titik lingkaran yang sama, tetapi satu putaran ke belakang:

$$\frac{5\pi }{3}-2\pi =-\frac{\pi }{3}.$$

Sudut $-\frac{\pi }{3}$ menunjuk ke tempat yang sama pada lingkaran seperti $\frac{5\pi }{3}$, hanya saja kita sampai ke sana dengan berputar searah jarum jam. Sekarang ujung kiri lebih kecil daripada ujung kanan, dan hasilnya adalah

$$x\in (-\frac{\pi }{3}+2k\pi ,\frac{\pi }{3}+2k\pi ),$$

dengan k ∈ ℤ. Hal ini juga terlihat jelas pada grafik kosinus:

Bagian merah di sekitar nol tepat sesuai dengan interval untuk k = 0. Bagian di sebelah kanan, yang dimulai di $\frac{5\pi }{3}$, adalah salinannya untuk k = 1, yaitu $(\frac{5\pi }{3},\frac{7\pi }{3})$. Penulisan ini juga benar, hanya dengan k yang berbeda. Yang salah hanyalah penulisan dengan ujung-ujung yang tertukar.

Tangen

Contoh terakhir:

$$\tan x\ge 1$$

Tangen sama dengan satu untuk $x=\frac{\pi }{4}$. Pada setiap cabangnya, grafik tangen selalu naik, sehingga untuk x yang sedikit lebih besar, tangen lebih dari satu. Namun, grafik itu hanya naik sampai $\frac{\pi }{2}$, tempat nilainya melesat ke tak hingga, dan setelah itu dimulai lagi dari negatif tak hingga. Jadi, pada satu cabang grafik, pertidaksamaan dipenuhi oleh semua nilai dari $\frac{\pi }{4}$ sampai $\frac{\pi }{2}$.

Di sini biasanya terjadi dua kesalahan. Kesalahan pertama ada pada periode. Tangen tidak berulang setiap 2π seperti sinus, tetapi sudah setiap π. Siapa pun yang karena kebiasaan menambahkan 2kπ akan kehilangan separuh penyelesaian, misalnya $x=\frac{5\pi }{4}$, yang tangennya juga sama dengan satu.

Kesalahan kedua mengintai di ujung kanan. Ujung kiri $\frac{\pi }{4}$ termasuk penyelesaian, karena pertidaksamaannya tidak tegas dan $\tan \frac{\pi }{4}=1$ memenuhinya. Namun, ujung kanan $\frac{\pi }{2}$ tidak pernah termasuk penyelesaian, bahkan pada pertidaksamaan tidak tegas. Di titik itu tangen tidak terdefinisi, sehingga nilainya tidak mungkin lebih dari atau sama dengan satu. Salah jika kita menulis interval tertutup $[\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}]$ hanya karena soalnya memakai ≥.

Jadi, hasil yang benar adalah

$$x\in [\frac{\pi }{4}+k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi ),$$

dengan k ∈ ℤ. Untuk memeriksa, kita substitusikan $x=\frac{\pi }{3}$, yang terletak pada interval untuk k = 0. Diperoleh $\tan \frac{\pi }{3}=\sqrt{3}\approx 1,73$, dan nilai ini lebih dari satu.