Pertidaksamaan bentuk hasil kali dan pecahan

Hasil kali beberapa bilangan bernilai positif jika tidak ada faktor yang nol dan banyak faktor negatifnya genap. Negatif kali negatif hasilnya positif, sehingga faktor-faktor negatif saling meniadakan secara berpasangan. Jika banyaknya ganjil, seluruh hasil kali bernilai negatif. Gagasan sederhana inilah dasar penyelesaian semua pertidaksamaan yang di satu ruasnya berupa hasil kali atau hasil bagi dan di ruas lainnya nol.

Jika kamu sudah membaca artikel tentang pertidaksamaan kuadrat, kamu sudah bisa menyelesaikan pertidaksamaan (x − 1)(x + 3) > 0: cari akar-akarnya, yaitu 1 dan −3, lalu lihat di mana bentuk itu bernilai positif. Sekarang kamu akan melihat bahwa langkah yang sama juga berlaku untuk faktor sebanyak apa pun, tidak hanya dua.

Metode titik pembuat nol

Kita mulai dengan pertidaksamaan berikut:

$$(x+2)(x-1)(x-3)>0.$$

Tanda kurungnya tidak akan kita jabarkan, karena kita akan memperoleh polinomial berderajat tiga yang jauh lebih sulit diolah. Sebaliknya, bentuk hasil kali justru bentuk terbaik yang bisa kita dapatkan.

Pertama, kita cari titik pembuat nol, yaitu bilangan yang membuat salah satu faktor sama dengan nol. Setiap tanda kurung kita samakan dengan nol secara terpisah:

$$\begin{array}{rcl}x+2& =& 0\Rightarrow x=-2\\ x-1& =& 0\Rightarrow x=1\\ x-3& =& 0\Rightarrow x=3\end{array}$$

Titik-titik pembuat nol membagi garis bilangan menjadi empat interval: (−∞, −2), (−2, 1), (1, 3), dan (3, ∞). Di dalam setiap interval, tidak ada tanda kurung yang melewati nol, sehingga tandanya pun tidak berubah. Jadi, cukup pilih satu bilangan dari setiap interval (uji titik) dan tentukan tanda setiap faktor.

• Dari interval (−∞, −2) kita coba, misalnya, x = −3. Ketiga tanda kurung bernilai negatif: (−1) · (−4) · (−6). Banyaknya faktor negatif tiga, yaitu ganjil, sehingga hasil kalinya negatif.
• Dari interval (−2, 1) kita substitusikan nol: 2 · (−1) · (−3). Ada dua faktor negatif, hasil kalinya positif.
• Untuk interval (1, 3), kita pakai 2: 4 · 1 · (−1). Ada satu faktor negatif, hasil kalinya negatif.
• Dari interval (3, ∞) kita coba 10: semua tanda kurung positif, sehingga hasil kalinya juga positif.

Semua ini terlihat jelas dalam tabel tanda. Setiap baris memuat satu tanda kurung, di bawahnya seluruh hasil kali, dan interval tempat hasil kalinya positif ditandai merah:

Kita mencari kapan hasil kalinya lebih dari nol. Titik-titik pembuat nol sendiri tidak termasuk penyelesaian, karena di titik itu hasil kalinya nol, dan nol tidak lebih dari nol. Penyelesaiannya adalah

$$x\in (-2,1)\cup (3,\mathrm{\infty }).$$

Pemeriksaan: untuk x = 4 diperoleh 6 · 3 · 1 = 18, dan hasil ini memang bilangan positif.

Hasil yang sama juga terlihat pada grafik fungsi y = (x + 2)(x − 1)(x − 3). Grafik memotong sumbu x tepat di titik-titik pembuat nol, dan di antara dua titik yang berdekatan, grafik seluruhnya berada di atas atau seluruhnya di bawah sumbu. Di bagian yang berada di atas sumbu, hasil kalinya positif, dan bagian-bagian ini berwarna merah:

Tanda tidak harus bergantian

Pada contoh sebelumnya, tandanya bergantian secara teratur: minus, plus, minus, plus. Hal ini menggoda kita untuk menentukan tanda pada satu interval saja, lalu membaliknya begitu saja pada interval lainnya. Sebaiknya jangan begitu. Perhatikan pertidaksamaan

$$(x-1{)}^2(x+2)\ge 0.$$

Titik pembuat nolnya adalah 1 dan −2, sehingga ada tiga interval. Kita coba satu bilangan dari setiap interval:

• x = −3: (−4)² · (−1) = 16 · (−1) = −16, negatif,
• x = 0: (−1)² · 2 = 2, positif,
• x = 2: 1² · 4 = 4, positif.

Saat melewati titik 1, tandanya tidak berubah. Penyebabnya adalah kuadrat: (x − 1)² adalah kuadrat, dan kuadrat selalu positif atau nol, apa pun isinya. Karena itu, faktor berpangkat genap tidak pernah membalik tanda hasil kali. Jika tandanya hanya kita balik-balik, pada interval terakhir kita akan memperoleh minus dan kehilangan sebagian besar penyelesaian.

Jadi, bentuk itu positif pada (−2, 1) dan pada (1, ∞). Namun, pertidaksamaannya berbunyi “lebih dari atau sama dengan”, sehingga kita juga mengambil titik-titik tempat bentuk itu sama dengan nol, yaitu kedua titik pembuat nol, −2 dan 1. Jadi, bilangan 1 termasuk penyelesaian karena kesamaan, dan kedua interval menyatu menjadi satu:

$$x\in [-2,\mathrm{\infty }).$$

Hati-hati dengan pertidaksamaan tegas: pada (x − 1)²(x + 2) > 0, bilangan 1 tidak termasuk penyelesaian, sehingga hasilnya (−2, 1) ∪ (1, ∞), yaitu interval yang “berlubang”.

Bentuk pecahan

Pecahan diperlakukan dengan cara yang persis sama, karena hasil bagi mempunyai tanda yang sama dengan hasil kali: hasil bagi positif jika pembilang dan penyebutnya bertanda sama. Kita selesaikan pertidaksamaan

$$\frac{x+2}{x-4}\le 0.$$

Titik pembuat nol kita cari pada pembilang maupun penyebut: x = −2 dan x = 4. Kita substitusikan satu bilangan dari setiap interval:

• x = −3: $\frac{-1}{-7}$, positif,
• x = 0: $\frac{2}{-4}$, negatif,
• x = 5: $\frac{7}{1}$, positif.

Kita mencari nilai negatif atau nol. Pecahan bernilai negatif pada interval (−2, 4). Nilai nol diperoleh jika pembilangnya nol, yaitu untuk x = −2, dan titik ini termasuk penyelesaian. Namun, bilangan 4 tidak pernah termasuk penyelesaian, apa pun tanda pertidaksamaannya. Untuk x = 4 penyebutnya nol, dan pembagian dengan nol tidak bisa dilakukan. Karena itu, titik pembuat nol penyebut selalu kita keluarkan.

Pada gambar, hal ini terlihat dari bulatannya. Bulatan penuh di −2 berarti bilangan itu termasuk penyelesaian, sedangkan bulatan kosong di 4 berarti tidak. Hasilnya adalah

$$x\in [-2,4).$$

Jangan mengalikan dengan penyebut

Metode titik pembuat nol hanya berlaku jika salah satu ruas pertidaksamaan adalah nol. Ambil pertidaksamaan

$$\frac{2x-1}{x+1}\ge 1.$$

Sangat menggoda untuk mengalikannya dengan penyebut x + 1, lalu memperoleh 2x − 1 ≥ x + 1 dan dari situ x ≥ 2. Akan tetapi, kita tidak tahu apakah x + 1 positif atau negatif, sedangkan saat mengalikan dengan bilangan negatif, tanda pertidaksamaan harus dibalik. Karena itu, langkah tadi bukan operasi ekuivalen, dan sebagian penyelesaian hilang. Penjelasan lebih lanjut ada di artikel tentang pertidaksamaan linear.

Cara yang benar adalah memindahkan semuanya ke satu ruas:

$$\frac{2x-1}{x+1}-1\ge 0$$

Bilangan satu kita tulis sebagai pecahan dengan penyebut yang sama:

$$\frac{2x-1}{x+1}-\frac{x+1}{x+1}\ge 0$$

Lalu pecahan-pecahannya kita kurangkan:

$$\frac{x-2}{x+1}\ge 0$$

Titik pembuat nolnya adalah 2 dan −1. Untuk x = −2 diperoleh $\frac{-4}{-1}=4$, positif. Untuk x = 0 diperoleh $\frac{-2}{1}$, negatif. Untuk x = 3 diperoleh $\frac{1}{4}$, positif. Bilangan 2 termasuk penyelesaian (di titik itu pecahan bernilai nol), sedangkan minus satu tidak, karena merupakan titik pembuat nol penyebut. Jadi, penyelesaian lengkapnya adalah

$$x\in (-\mathrm{\infty },-1)\cup [2,\mathrm{\infty }).$$

Untuk memastikan bahwa perkalian dengan penyebut memang menghilangkan sebagian penyelesaian, kita substitusikan x = −2 ke pertidaksamaan semula: $\frac{-5}{-1}=5$, dan lima lebih dari satu. Cocok.