Persamaan linear dengan nilai mutlak

Nilai mutlak adalah fungsi yang tidak mengubah bilangan nonnegatif dan mengubah bilangan negatif menjadi positif. Nilai mutlak bisa muncul saat kita menyelesaikan persamaan linear.

Mengingat kembali

Mari kita ingat lagi cara menghitung dan menuliskan nilai mutlak. Bentuk di dalam nilai mutlak ditulis di antara dua garis tegak seperti ini: |a|. Kita membacanya “nilai mutlak a”. Nilai mutlak bilangan nonnegatif adalah bilangan itu sendiri. Contoh: |3| = 3, |64| = 64, |π| = π. Sebaliknya, nilai mutlak bilangan negatif adalah bilangan positif: $|-7|=7,|-\pi |=\pi ,|-\frac{1}{2}|=\frac{1}{2}$. Nilai mutlak nol adalah nol.

Contoh sederhana

Contoh persamaan linear sederhana dengan nilai mutlak adalah persamaan |x| = 3. Pertanyaannya, kapan nilai mutlak menghasilkan tiga? Ada dua nilai x, satu positif dan satu negatif, sehingga persamaan ini mempunyai dua penyelesaian. Yang pertama adalah x₁ = 3, karena |3| = 3. Penyelesaian kedua adalah x₂ = −3, karena |−3| = 3.

Mari kita ubah persamaan itu menjadi sedikit lebih sulit: |2x + 1| = 5. Di dalam nilai mutlak sekarang ada bentuk yang lebih rumit. Namun, kita bisa melakukan langkah yang persis sama seperti tadi. Bilangan apa yang nilai mutlaknya lima? Sekali lagi 5 dan −5. Apa kesimpulannya? Bagian di dalam nilai mutlak, yaitu bentuk 2x + 1, harus sama dengan lima atau minus lima. Hanya dengan begitu persamaan mempunyai penyelesaian. Jadi, kita menyelesaikan persamaan 2x + 1 = 5 dan 2x + 1 = −5. Keduanya kita selesaikan sebagai persamaan linear biasa. Diperoleh:

$$\begin{array}{rcl}2x+1& =& 5\\ 2x& =& 4\\ x& =& 2\end{array}$$

Dan hasil kedua:

$$\begin{array}{rcl}2x+1& =& -5\\ 2x& =& -6\\ x& =& -3\end{array}$$

Jadi, ada dua hasil: x₁ = 2 dan x₂ = −3. Kita bisa mencoba menyubstitusikannya ke persamaan semula. Untuk x = 2 diperoleh |2 · 2 + 1| = |4 + 1| = |5| = 5, dan untuk x = −3 diperoleh |2 · (−3) + 1| = |−6 + 1| = |−5| = 5.

Menghilangkan nilai mutlak

Namun, cara tadi sulit diterapkan jika persamaannya lebih rumit. Misalnya persamaan ini:

$$|4x+2|+|x-1|=6$$

Di sini ada dua bentuk dalam nilai mutlak, sehingga kita harus memakai cara lain. Pertama, contoh yang sedikit lebih sederhana: apa yang berlaku untuk bentuk |x − 2| jika x kita ambil dari interval (2, ∞)? Bentuk di dalam nilai mutlak selalu positif. Jika kita substitusikan, misalnya, 3, diperoleh 3 − 2 = 1. Jika kita substitusikan 10, diperoleh 10 − 2 = 8, dan seterusnya. Untuk bilangan berapa pun dari interval ini, bentuk di dalam nilai mutlak bernilai positif. Lalu, apa pengaruh nilai mutlak terhadap nilainya? Sama sekali tidak ada. Ini temuan yang penting. Jika bentuk di dalam nilai mutlak selalu positif, nilai mutlak boleh dihilangkan karena tidak diperlukan. Jika x kita ambil dari interval (2, ∞), berlaku kesamaan |x − 2| = x − 2 (nilai mutlaknya sudah kita hilangkan).

Sekarang contoh sebaliknya: bagaimana jika x kita ambil dari interval (−∞, 2)? Berapa nilai bentuk di dalam nilai mutlak, yaitu nilai x − 2? Nilainya selalu negatif! Mari kita coba substitusikan 1: 1 − 2 = −1, atau 0: 0 − 2 = −2. Apa yang dilakukan nilai mutlak terhadap nilai ini? Nilai itu diubah menjadi positif, tandanya dibalik. Tanda bilangan dapat dibalik dengan mengalikannya dengan minus satu, karena 5 · (−1) = −5, tetapi juga −7 · (−1) = 7 dan −15 · (−1) = 15.

Jadi, jika x kita ambil dari interval (−∞, 2), bentuk di dalam nilai mutlak selalu negatif. Nilai mutlak akan bekerja dan membalik tanda bentuk itu, yaitu mengalikannya dengan −1. Dengan demikian, untuk x dari (−∞, 2) berlaku kesamaan: |x − 2| = −(x − 2). Mari kita coba substitusikan, misalnya, nol. Pertama ke bentuk dengan nilai mutlak: |0 − 2| = |−2| = 2, lalu ke ruas kanan: −(0 − 2) = −(−2) = 2.

Seperti terlihat, interval-interval seperti ini memungkinkan kita memecah bentuk dengan nilai mutlak menjadi dua bentuk berbeda yang dapat diselesaikan secara terpisah. Ini sangat membantu. Pertanyaan yang tersisa: bagaimana mencari interval-interval itu?

Metode pembuat nol

Kapan bentuk x − 2 berganti tanda? Dari bagian sebelumnya kita tahu bahwa di seluruh interval (−∞, 2) bentuk ini negatif dan di seluruh interval (2, ∞) bentuk ini positif. Bagaimana di titik x = 2? Dengan substitusi kita peroleh 2 − 2 = 0, yaitu nol. Ini bukan kebetulan. Alasannya paling jelas terlihat pada grafik fungsi linear:

Grafik fungsi linear adalah garis lurus. Garis ini hanya dapat memotong sumbu x satu kali, dan saat memotong sumbu x, tandanya berganti. Karena itu, jika fungsi linear memotong sumbu x di titik a, tandanya pada interval (−∞, a) berbeda dengan tandanya pada interval (a, ∞).

Jadi, jika kita mencari interval tempat fungsi linear positif dan tempat fungsi itu negatif, cukup mencari pembuat nolnya, yaitu titik x₀ yang membuat fungsi linear f bernilai nol: f(x₀) = 0. Jadi, jika kita mencari interval tempat bentuk x − 2 positif, pertama kita selesaikan persamaan x − 2 = 0. Penyelesaiannya adalah x = 2. Kemudian kita bentuk interval-interval (−∞, 2) dan (2, ∞). Pada interval-interval ini, persamaan kita selesaikan lebih lanjut, tetapi sudah tanpa nilai mutlak.

Akhirnya kembali ke contoh…

Jauh di atas kita sudah menuliskan contoh:

$$|4x+2|+|x-1|=6$$

Bagaimana menyelesaikannya? Pertama, kita cari pembuat nol setiap bentuk di dalam nilai mutlak, yaitu bentuk 4x + 2 dan x − 1. Pembuat nol bentuk 4x + 2 adalah $x=-\frac{1}{2}$, dan pembuat nol bentuk x − 1 adalah x = 1. Karena ada dua pembuat nol, kita memperoleh tiga interval. Setiap pembuat nol membagi interval (−∞, ∞). Jadi, secara keseluruhan diperoleh interval $(-\mathrm{\infty },-\frac{1}{2})$, $[-\frac{1}{2},1]$, dan (1, ∞). Interval-interval selalu kita pilih sehingga seluruh interval (−∞, ∞) tertutupi.

Pada langkah berikutnya, kita harus menentukan apakah bentuk-bentuk itu positif atau negatif pada setiap interval. Untuk itu kita gunakan tabel tanda:

$$\begin{array}{cccc}x& (-\mathrm{\infty },-\frac{1}{2})& [-\frac{1}{2},1]& (1,\mathrm{\infty })\\ 4x+2& -& +& +\\ x-1& -& -& +\end{array}$$

Tanda minus − berarti bentuk itu negatif pada interval tersebut, dan tanda plus + berarti positif. Bagaimana kita mengetahuinya? Kita substitusikan sembarang bilangan dari interval itu. Misalnya, pada interval tengah kita bisa menyubstitusikan nol, karena paling mudah dihitung. Untuk bentuk 4x + 2 diperoleh 4 · 0 + 2 = 2, dan untuk x − 1 diperoleh 0 − 1 = −1.

Tip: jika pada interval pertama bentuk itu negatif dan pada interval berikutnya positif, pada interval-interval selanjutnya bentuk itu tetap positif. Fungsi linear tidak dapat berganti tanda dua kali, lihat gambar grafik fungsi linear di atas.

Sekarang kita tahu bentuk mana yang positif dan mana yang negatif pada setiap interval. Perhitungan selanjutnya kita bagi menjadi tiga langkah, karena setiap interval harus diselesaikan tersendiri.

Interval pertama, yaitu x dari $(-\mathrm{\infty },-\frac{1}{2})$. Pada interval ini kedua bentuk negatif, sehingga untuk menghilangkan nilai mutlak, tanda kedua bentuk harus dibalik. Pada interval ini kita menyelesaikan persamaan:

$$-(4x+2)-(x-1)=6$$

Persamaan ini mudah diselesaikan dengan operasi ekuivalen:

$$\begin{array}{rcl}-(4x+2)-(x-1)& =& 6\\ -4x-2-x+1& =& 6\\ -5x-1& =& 6\\ -5x& =& 7\\ x& =& -\frac{7}{5}\end{array}$$

Perhatikan bahwa kita harus memeriksa apakah penyelesaian ini terletak pada interval yang sedang kita kerjakan. Kita menganggap x berasal dari interval $(-\mathrm{\infty },-\frac{1}{2})$. Jika penyelesaian yang diperoleh tidak terletak pada interval itu, penyelesaian tersebut tidak boleh dipakai. Minus tujuh perlima terletak pada interval $(-\mathrm{\infty },-\frac{1}{2})$, sehingga ini adalah penyelesaian persamaan yang sah.

Interval kedua, yaitu x dari $[-\frac{1}{2},1]$. Pada interval ini bentuk 4x + 2 positif, sedangkan bentuk x − 1 masih negatif. Jadi, kita menyelesaikan persamaan

$$4x+2-(x-1)=6$$

Sekali lagi kita ubah dengan mudah:

$$\begin{array}{rcl}4x+2-(x-1)& =& 6\\ 4x+2-x+1& =& 6\\ 3x+3& =& 6\\ 3x& =& 3\\ x& =& 1\end{array}$$

Apakah penyelesaian ini terletak pada interval yang sedang kita kerjakan? Ya. Kita menemukan penyelesaian lain dari persamaan linear ini.

Interval ketiga, yaitu interval (1, ∞). Pada interval ini kedua bentuk positif, sehingga nilai mutlak dapat dihilangkan tanpa perubahan lain. Kita menyelesaikan persamaan:

$$4x+2+x-1=6$$

Persamaan ini mudah diselesaikan:

$$\begin{array}{r}4x+2+x-1=6\\ 5x+1=6\\ 5x=5\\ x=1\end{array}$$

Kita memperoleh hasil yang sama dengan interval sebelumnya. Namun, apakah ini penyelesaian yang sah untuk interval yang sedang kita kerjakan? Bukan! Kita bekerja pada interval terbuka (1, ∞), dan bilangan 1 tidak termasuk dalam interval ini. Karena itu, hasil yang ditemukan pada langkah ketiga ini tidak boleh dihitung sebagai penyelesaian yang sah.

Persamaan linear dengan nilai mutlak ini mempunyai dua penyelesaian, himpunan penyelesaiannya $\mathrm{HP}=\{-\frac{7}{5},1\}$.

Penyelesaian grafis

Seperti persamaan linear biasa, persamaan ini juga dapat diselesaikan secara grafis. Di ruas kiri ada fungsi f(x) = |4x + 2|+|x − 1| dan di ruas kanan g(x) = 6. Kita gambar kedua grafik itu, dan keduanya berpotongan di dua titik. Absis (koordinat x) titik-titik ini adalah penyelesaian persamaan.

Jadi, himpunan penyelesaian HP memuat bilangan-bilangan $\mathrm{HP}=\{-\frac{7}{5},1\}$.