Persamaan linear dengan variabel di penyebut

Persamaan linear yang memuat pecahan dengan variabel di penyebutnya diselesaikan dengan cara yang mirip dengan persamaan linear biasa. Pada langkah pertama, persamaan kita ubah ke bentuk umum, lalu kita selesaikan seperti biasa.

Jika penyebutnya hanya x

Jenis persamaan seperti ini yang paling sederhana adalah persamaan yang penyebutnya hanya memuat variabel x, tanpa apa pun lagi. Sebagai contoh, ambil persamaan:

$$\frac{10}{x}=5$$

Jelas bahwa penyelesaian persamaan ini adalah x = 2. Namun, bagaimana menyelesaikannya secara formal dan umum? Variabel di penyebut menyulitkan kita, karena sulit diolah, sehingga kita perlu menghilangkannya. Pertanyaannya, bagaimana cara menghilangkan x dari penyebut?

Bayangkan pecahan berbentuk

$$\frac{a}{b}$$

Dengan apa pecahan itu harus dikalikan agar bentuk pecahannya hilang? Agar bentuknya bukan lagi hasil bagi, melainkan hasil kali? Dengan apa sepertiga (yaitu 1/3) harus dikalikan agar hasilnya bilangan bulat? Pecahan itu harus dikalikan dengan penyebutnya (atau kelipatan penyebutnya). Jika pecahan dikalikan dengan penyebutnya, diperoleh pecahan

$$\frac{a\cdot b}{b}$$

Pada pecahan ini, penyebut semula b dapat dicoret, sehingga yang tersisa hanya a. Kembali ke contoh sepertiga: jika sepertiga dikalikan tiga, apa hasilnya? Tiga pertiga, yaitu bilangan satu. Apa hasilnya jika seperenam dikalikan enam? Enam perenam, yaitu satu. Apa hasilnya jika tiga pertujuh dikalikan tujuh? Diperoleh 3 · 7 = 21, yaitu dua puluh satu pertujuh, dan itu sama dengan tiga.

Jadi, seluruh persamaan kita kalikan dengan variabel x, yaitu penyebut pecahan. Bolehkah kita melakukannya? Jawabannya: boleh. Memang x bisa saja bernilai nol, karena kita menganggap x anggota himpunan bilangan real. Akan tetapi, syarat persamaan menyatakan x ≠ 0, karena x berada di penyebut pecahan dan kita tidak boleh membagi dengan nol. Jadi, ini adalah operasi ekuivalen pada persamaan.

Baik, persamaan kita kalikan dengan variabel x. Apa hasilnya?

$$\begin{array}{rcl}\frac{10}{x}& =& 5\\ x\cdot \frac{10}{x}& =& x\cdot 5\\ \frac{10x}{x}& =& 5x\end{array}$$

Apa yang bisa kita lakukan sekarang? Pada pecahan, x dapat kita coret. Dari pecahan 10x/x yang tersisa hanya 10: 10 = 5x. Sekarang persamaan ini sudah bisa diselesaikan sebagai persamaan linear biasa. Penyelesaiannya adalah x = 2.

Apakah langkah ini masuk akal secara intuitif? Ya. Bayangkan persamaan berbentuk:

$$\frac{x}{2}=10$$

Apa arti persamaan linear ini? Setengah dari x sama dengan sepuluh. Jika kita mengambil dua kali setengah dari x, hasilnya harus dua puluh. Dua kali setengah dari x tidak lain adalah satu x utuh.

Bentuk yang lebih rumit di penyebut

Penyebut bisa memuat bentuk yang lebih rumit daripada sekadar x. Selesaikan persamaan:

$$\frac{5}{x+2}=10$$

Bagaimana kita menyelesaikan persamaan ini? Bagaimana cara menghilangkan pecahannya? Pada bagian sebelumnya, persamaan kita kalikan dengan penyebut, sehingga pecahannya hilang. Di sini kita melakukan hal yang persis sama. Jika persamaan kita kalikan dengan x + 2, bentuk x + 2 pindah ke pembilang pecahan dan dapat dicoret. Mari kita kalikan (penulisan /·(x + 2) berarti “kedua ruas dikalikan x + 2”):

$$\begin{array}{rcl}\frac{5}{x+2}& =& 10/\cdot (x+2)\\ (x+2)\cdot \frac{5}{x+2}& =& (x+2)\cdot 10\\ \frac{(x+2)\cdot 5}{x+2}& =& 10\cdot (x+2)/\text{coret }(x+2)\\ 5& =& 10\cdot (x+2)\end{array}$$

Pecahannya sudah hilang. Sekarang tinggal menjabarkan tanda kurung dan menghitung hasilnya.

$$\begin{array}{rcl}-10x-15& =& 0\\ x& =& -\frac{3}{2}\end{array}$$

Beberapa pecahan

Situasinya bisa menjadi jauh lebih rumit jika persamaan memuat beberapa pecahan dan beberapa bentuk di penyebut. Contoh:

$$\frac{5}{x+2}=\frac{4}{x+3}$$

Bagaimana menyelesaikan persamaan ini? Ada dua pecahan dengan penyebut berbeda, dan keduanya memuat variabel x. Caranya, persamaan kita kalikan dengan kedua penyebut. Hal ini bisa dilakukan satu per satu atau sekaligus. Jika dilakukan satu per satu, perhitungannya seperti ini. Kita mulai dengan mengalikan kedua ruas dengan (x + 2).

$$\begin{array}{rcl}\frac{5}{x+2}& =& \frac{4}{x+3}/\cdot (x+2)\\ \frac{5(x+2)}{x+2}& =& \frac{4(x+2)}{x+3}\\ 5& =& \frac{4(x+2)}{x+3}\end{array}$$

Sekarang persamaan masih kita kalikan dengan penyebut kedua, (x + 3):

$$\begin{array}{rcl}5& =& \frac{4(x+2)}{x+3}/\cdot (x+3)\\ 5(x+3)& =& \frac{4(x+2)(x+3)}{x+3}\\ 5(x+3)& =& 4(x+2)\end{array}$$

Sekarang tinggal menjabarkan tanda kurung dan menghitung hasilnya:

$$\begin{array}{rcl}5x+15& =& 4x+8\\ x& =& -7\end{array}$$

Cara kedua adalah mengalikan persamaan dengan kedua penyebut sekaligus. Jadi, di awal persamaan kita kalikan dengan (x + 2)(x + 3). Diperoleh:

$$\begin{array}{rcl}\frac{5}{x+2}& =& \frac{4}{x+3}/\cdot (x+2)(x+3)\\ \frac{5(x+2)(x+3)}{x+2}& =& \frac{4(x+2)(x+3)}{x+3}\\ 5(x+3)& =& 4(x+2)\end{array}$$

Hal ini boleh kita lakukan, karena mengalikan persamaan dengan bentuk a, lalu dengan bentuk b, sama saja dengan mengalikannya dengan bentuk a · b.