Pengertian persamaan

Persamaan adalah salah satu konsep dasar dalam matematika dan salah satu alat yang membuat seluruh matematika dapat bekerja.

Contoh pengantar

Persamaan memiliki ruas kiri, tanda sama dengan, dan ruas kanan. Persamaan yang paling sederhana bisa berbentuk seperti ini:

$$x=2$$

Di ruas kiri ada variabel x, lalu tanda sama dengan, dan di ruas kanan ada bilangan 2. Persamaan ini sederhana dan memberi tahu kita bahwa nilai variabel x sama dengan 2. Variabel x biasanya mewakili sesuatu yang sedang kita cari, misalnya banyaknya kancing pada kemeja atau gaji seorang karyawan.

Namun, persamaan dalam bentuk ini biasanya justru merupakan hasil yang kita cari, bukan sesuatu yang diberikan dalam soal. Dalam praktik, kita biasanya menghadapi persamaan yang lebih rumit. Misalnya, diketahui total gaji lima karyawan, dan tugas kita adalah mencari gaji satu karyawan (dengan anggapan semua karyawan bergaji sama).

Misalnya, kita tahu bahwa lima guru menerima gaji total Rp30 juta per bulan. Berapa gaji satu guru? Persamaannya kita susun seperti ini: gaji satu guru kita lambangkan dengan x. Dengan demikian, diperoleh persamaan:

$$5x=30.000.000$$

Persamaan ini adalah bentuk matematis dari soal “jumlah gaji lima guru adalah 30.000.000”. Tujuan kita adalah mencari gaji satu guru, yaitu nilai x = ?. Kita sedikit mendahului materi dan menggunakan operasi ekuivalen pada persamaan: kedua ruas persamaan kita bagi dengan lima. Jika lima guru menerima 30.000.000, satu guru menerima seperlimanya. Hasilnya:

$$x=30.000.000/5$$

dan setelah pembagian

$$x=6.000.000.$$

Definisi persamaan

Untuk mendefinisikan persamaan, kita perlu tahu apa itu fungsi. Jika kita sudah mengenal fungsi, persamaan dapat dibayangkan sebagai pernyataan bahwa dua fungsi bernilai sama:

$$f(x)=g(x)$$

Ini adalah bentuk umum persamaan satu variabel. Di ruas kiri ada fungsi f dan di ruas kanan ada fungsi g. Tugas kita adalah mencari akar-akar persamaan, yaitu nilai-nilai x yang membuat fungsi f dan g bernilai sama.

Jadi, kita ingin mencari nilai x tertentu, sebut saja x₁, sehingga berlaku

$$f(x_1)=g(x_1)$$

Sebagai contoh, ambil persamaan 2x = −4x + 6. Di sini f(x) = 2x dan g(x) = −4x + 6. Kita mencari nilai x yang membuat fungsi f bernilai sama dengan fungsi g. Dengan menyelesaikan persamaan menggunakan operasi ekuivalen, diperoleh:

$$\begin{array}{rcl}2x& =& -4x+6\\ 2x+4x& =& -4x+4x+6\\ 6x& =& 6\\ x& =& 1\end{array}$$

Penyelesaian persamaan ini adalah x = 1. Untuk nilai ini, kedua fungsi seharusnya menghasilkan nilai yang sama. Jika kita menyubstitusikan 1 ke fungsi f, diperoleh

$$f(1)=2\cdot 1=2$$

Nilai fungsi f di titik 1 adalah 2. Bagaimana dengan fungsi g? Kita substitusikan juga 1:

$$g(1)=-4\cdot 1+6=-4+6=2$$

Ternyata kita kembali memperoleh 2. Jadi, bilangan 1 adalah akar persamaan ini. Bilangan ini juga satu-satunya akar persamaan dalam himpunan bilangan real. Jika kita memasukkan nilai lain ke kedua fungsi, hasilnya akan berbeda. Misalnya, untuk 5 diperoleh:

$$\begin{array}{rcl}f(5)& =& 2\cdot 5=10\\ g(5)& =& -4\cdot 5+6=-20+6=-14\end{array}$$

Makna grafis

Penyelesaian persamaan memiliki makna grafis yang indah dan jelas. Jika kamu menggambar grafik fungsi-fungsi di ruas kiri dan ruas kanan persamaan, kedua grafik akan berpotongan tepat di tempat persamaan itu mempunyai penyelesaian.

Kita kembali ke persamaan 2x = −4x + 6. Fungsi di ruas kiri adalah f(x) = 2x dan fungsi di ruas kanan adalah g(x) = −4x + 6. Kita tahu bahwa akar persamaan ini adalah x = 1. Jadi, kedua fungsi seharusnya berpotongan di titik 1. Berikut grafik kedua fungsi:

Kamu dapat melihat bahwa kedua garis berpotongan di satu titik, yaitu titik (1, 2). Koordinat pertama adalah nilai x, yaitu akar persamaan. Koordinat kedua adalah nilai y, yaitu nilai kedua fungsi jika kamu menyubstitusikan 1.

Jadi, penyelesaian persamaan adalah semua titik tempat fungsi di ruas kiri dan fungsi di ruas kanan berpotongan. Persamaan sering kita ubah sehingga ruas kanannya nol, yaitu fungsi konstan g(x) = 0. Kemudian kita mencari tempat grafik fungsi di ruas kiri memotong sumbu x. Persamaan 2x = −4x + 6 dapat diubah sehingga ruas kanannya nol seperti ini:

$$\begin{array}{rcl}2x& =& -4x+6\\ 6x& =& 6\\ 6x-6& =& 0\end{array}$$

Jika kita menggambar grafik fungsi di ruas kiri…

… kita lihat bahwa grafiknya memotong sumbu x di titik 1. Meskipun persamaan sudah kita ubah sehingga ruas kanannya nol, hasilnya tetap sama, yaitu 1.

Banyak penyelesaian persamaan

Dari makna grafis persamaan, kita dapat menyimpulkan berapa banyak penyelesaian yang mungkin dimiliki suatu persamaan. Dengan begitu, kita mudah menjawab pertanyaan seperti: Apakah setiap persamaan mempunyai penyelesaian? Bisakah persamaan mempunyai lebih dari satu penyelesaian? Bisakah persamaan mempunyai tak hingga banyaknya penyelesaian?

Tidak ada penyelesaian

Kita mulai secara berurutan. Adakah persamaan yang tidak mempunyai penyelesaian? Pertanyaan ini sama dengan: adakah dua grafik fungsi yang tidak pernah berpotongan? Tentu saja ada. Jika kita tetap pada persamaan linear, yang grafiknya berupa garis lurus, cukup ambil dua garis yang sejajar. Misalnya:

$$x+1=x+2$$

Dengan akal sehat saja kita bisa menyimpulkan bahwa x + 1 tidak mungkin sama dengan x + 2. Jika kita menggambar grafiknya, diperoleh:

Kedua fungsi berupa garis sejajar sehingga tidak pernah berpotongan. Jadi, persamaan yang kita susun dari keduanya tidak mempunyai penyelesaian. Persamaan ini dapat diubah seperti ini:

$$\begin{array}{rcl}x+1& =& x+2\\ x-x& =& 2-1\\ 0x& =& 1\\ 0& \ne & 1\end{array}$$

Terlihat bahwa persamaan ini memang tidak mempunyai penyelesaian.

Masih banyak persamaan lain yang tidak mempunyai penyelesaian, misalnya persamaan x² = x − 1. Grafik kedua fungsinya tidak pernah berpotongan:

Beberapa penyelesaian

Bisakah persamaan mempunyai lebih dari satu penyelesaian (tetapi tetap berhingga banyaknya)? Sekali lagi, pertanyaan ini sama dengan: adakah dua grafik fungsi yang titik potongnya berhingga banyaknya, tetapi lebih dari satu?

Tentu ada. Contoh terakhir pada bagian sebelumnya adalah persamaan dengan fungsi kuadrat dan fungsi linear. Grafik tadi dapat kita ubah dengan menggeser garis sehingga garis itu memotong grafik fungsi kuadrat tepat di dua titik. Cukup ganti y = x − 1 dengan fungsi y = x.

Terlihat bahwa kedua grafik berpotongan di dua titik. Persamaannya dapat diselesaikan seperti ini:

$$\begin{array}{rcl}{x}^2& =& x\\ x^2-x& =& 0\\ x\cdot (x-1)& =& 0\\ x_1& =& 0\\ x_2& =& 1\end{array}$$

Tak hingga banyaknya penyelesaian

Adakah persamaan yang mempunyai tak hingga banyaknya penyelesaian? Dengan kata lain, adakah dua grafik yang berpotongan di tak hingga banyaknya titik? Ya, ada. Cukup ambil suatu fungsi periodik dan potong grafiknya dengan garis yang sesuai. Contoh khas fungsi periodik adalah sinus. Daerah hasil sinus adalah interval [−1, 1], dan nilainya berulang secara periodik di dalam interval ini.

Jadi, cukup tuliskan sin(x) = a, dengan a suatu bilangan dari daerah hasil tersebut. Contoh konkretnya: sin(x) = 0,5. Grafik kedua fungsi:

Pada gambar terlihat bahwa garis memotong grafik sinus di beberapa titik. Grafik sinus terus bergelombang ke kanan maupun ke kiri, sehingga di kedua sisi garis itu masih memotongnya tak hingga kali.

Fungsi yang sama dalam persamaan

Mungkinkah kita dapat menyubstitusikan nilai x berapa pun dari daerah asal fungsi-fungsinya dan persamaan tetap benar? Hal ini hanya terjadi jika kedua fungsi sama, atau jika fungsi yang satu dapat diubah menjadi fungsi yang lain. Contohnya:

$$2x+4=2\cdot (x+2)$$

Sekilas di setiap ruas ada fungsi yang berbeda. Akan tetapi, jika tanda kurung di ruas kanan kita jabarkan, diperoleh fungsi yang sama:

$$2x+4=2x+4$$

Himpunan penyelesaian persamaan seperti ini sama dengan daerah asal fungsi-fungsinya, yaitu himpunan bilangan real. Persamaan seperti ini dapat diubah menjadi 0 = 0. Penulisan /−2x di sebelah kanan berarti “kedua ruas dikurangi 2x”:

$$\begin{array}{rcl}2x+4& =& 2x+4/-2x\\ 4& =& 4/-4\\ 0& =& 0\end{array}$$