매개변수가 있는 일차방정식

일차방정식에는 보통 p로 나타내는 매개변수가 들어 있을 수 있다. 이때 목표는 매개변수 p에 따라 일차방정식이 어떤 해를 갖는지 살펴보는 것이다.

들어가며

다음 문제를 풀어 보자. 직접 쓴 소설을 책으로 인쇄해서 지인들에게 선물하려고 한다. 이 글에서는 금액을 모두 100원 단위로 나타내자. 쓸 수 있는 돈은 10,000(100만 원)이다. 인쇄비는 책 한 권에 기본료 100(1만 원)이고, 여기에 한 쪽마다 1(100원)씩 더 낸다. 소설은 300쪽이다. 책을 몇 권 만들 수 있을까?

이는 간단한 일차방정식 문제이다. 방정식은 다음과 같이 세운다. 미지수 x는 만들 수 있는 책의 권수이다. 그러면 방정식 (100 + 300)x = 10,000을 얻는다. 괄호 안의 식은 책 한 권의 가격이다(100은 기본료, 300은 쪽수에 따른 값). 방정식을 푼다.

$$\begin{array}{rcl}(100+300)x& =& \mathrm{10,000}\\ 400x& =& \mathrm{10,000}\\ x& =& \frac{\mathrm{10,000}}{400}\\ x& =& 25\end{array}$$

책을 25권 만들 수 있다. 그런데 쪽당 가격이 너무 비싸서 0.8(80원)으로 낮췄다. 이번에는 책을 몇 권 만들 수 있을까? 다시 방정식 (100 + 300 · 0.8)x = 10,000을 세우고 푼다.

$$\begin{array}{rcl}(100+300\cdot 0.8)x& =& \mathrm{10,000}\\ (100+240)x& =& \mathrm{10,000}\\ 340x& =& \mathrm{10,000}\\ x& =& \frac{\mathrm{10,000}}{340}\\ x& \approx & 29\end{array}$$

책을 29권 만들 수 있다. 사실 쪽수가 이 정도로 많으면 쪽당 가격을 조금 더 깎아 달라고 할 수도 있지 않을까? 0.6, 즉 60원이면 어떨까? 좋다. 그러면 책을 몇 권 만들 수 있는지 다시 계산한다.

이런 식으로는 가격을 끝없이 바꿔 가며 계산해야 한다는 것을 눈치챘을 것이다. 어떻게 하면 깔끔하게 해결할까? 매개변수, 즉 책 한 쪽의 가격을 나타내는 문자를 하나 더 쓰면 된다. 이 매개변수를 문자 p로 나타낸다. 범위를 정해 두기 위해 쪽당 가격은 구간 (0, 1](즉 0원보다 크고 100원 이하)에 있다고 하자. 공짜로 인쇄해 주는 곳은 없고, 쪽당 100원보다 비싼 곳도 없다고 하자. 그러면 방정식은 어떻게 될까?

$$(100+300p)x=\mathrm{10,000}$$

앞에서 생각한 가격 구조와 맞는다. 기본료 100은 변하지 않는다. 그리고 300쪽의 값은 쪽당 가격, 즉 매개변수 p에 300을 곱해서 구한다. 방정식의 해는 무엇일까? x에 대해 정리해야 한다.

$$\begin{array}{r}(100+300p)x=\mathrm{10,000}\\ x=\frac{\mathrm{10,000}}{100+300p}\end{array}$$

이것으로 끝이다. 이제 쪽당 가격만 알면 책을 몇 권 만들 수 있는지 계산할 수 있다. 쪽당 가격이 20원(0.2)이라면 p에 대입하여 다음을 얻는다.

$$x=\frac{\mathrm{10,000}}{100+300\cdot 0.2}=\frac{\mathrm{10,000}}{100+60}=\frac{\mathrm{10,000}}{160}\approx 62$$

책을 62권 만들 수 있다. 꽤 괜찮다.

매개변수가 있는 일반적인 방정식

매개변수가 있는 일반적인 방정식에서는 매개변수의 값에 따라 방정식이 어떤 해를 갖는지 알아본다. 예를 들어 다음 방정식을 보자.

$$(2p+2)x-6=0$$

먼저 이 방정식에서 언제 미지수 x가 사라지는지 알아본다. 미지수의 계수가 0일 때, 즉 2p + 2 = 0일 때이다. 이 방정식을 풀면 다음을 얻는다.

$$\begin{array}{rcl}2p+2& =& 0\\ 2p& =& -2\\ p& =& -1\end{array}$$

매개변수 p가 −1이면 방정식에서 미지수 x가 사라지고 방정식은 −6 = 0 꼴이 된다. 이 방정식은 해가 없다.

이제 p ≠ − 1일 때의 해를 구한다. 해는 보통처럼 구하는데, “최종” 해가 아니라 매개변수 p에 따라 달라지는 해를 얻는다. x에 대해 정리한다.

$$\begin{array}{rcl}(2p+2)x-6& =& 0/+6\\ (2p+2)x& =& 6/÷(2p+2)\\ x& =& \frac{6}{2p+2}\\ x& =& \frac{3}{p+1}\end{array}$$

이것이 최종 결과이다. p ≠ − 1이면 방정식의 근은 분수 3/(p + 1)과 같다.