Линейно уравнение с параметър

Линейното уравнение може да съдържа параметър, който обикновено означаваме с p. Тогава целта ни е да направим дискусия какво решение има линейното уравнение в зависимост от параметъра p.

Мотивация

Опитай да решиш следната задача: написал си роман „Как Крали Марко и Самодивата прогониха Змея от гората“ и искаш да го отпечаташ като книга и да подариш екземпляри на познати. Разполагаш с 400 €. Цената е следната: основна такса от 4 € за книга и още 4 евроцента за всяка страница. Романът ти има 300 страници. Колко книги можеш да си позволиш да поръчаш?

Това е проста задача за линейни уравнения. Уравнението съставяме така: неизвестното x ще представлява броя на книгите, които можем да поръчаме. Значи получаваме уравнението: (4 + 300 · 0,04)x = 400. Изразът в скобата представлява цената на една книга (4 е основната такса, 300 · 0,04 е цената за страниците). Решаваме уравнението:

$$\begin{array}{rcl}(4+300\cdot 0,04)x& =& 400\\ (4+12)x& =& 400\\ 16x& =& 400\\ x& =& \frac{400}{16}\\ x& =& 25\end{array}$$

Можем да си позволим да купим 25 книги. Но цената за страница е твърде голяма, ще я намалим на 0,03. Колко книги получаваме сега? Отново съставяме уравнението: (4 + 300 · 0,03)x = 400 и решаваме:

$$\begin{array}{rcl}(4+300\cdot 0,03)x& =& 400\\ (4+9)x& =& 400\\ 13x& =& 400\\ x& =& \frac{400}{13}\\ x& \approx & 30,8\end{array}$$

Можем да си купим 30 книги. Всъщност при толкова голям брой страници бихме могли да поискаме и малка отстъпка за всяка страница, нали? Може би само 2,5 евроцента, т.е. 0,025 евро? Защо не. Да пресметнем тогава колко книги ще получим.

Вероятно се досещаш, че така бихме могли да променяме цената до безкрай. По какъв елегантен начин да го решим? Решаваме го с помощта на параметър, с още една буква, която ще представлява цената за една страница от нашата книга. Този параметър означаваме с буквата p. За да го ограничим, да кажем, че цената за страница ще се движи в интервала (0; 0,05] евро. Няма да е нула, никой няма да ни печата безплатно, и никой няма да е по-скъп от 5 евроцента за страница. Как ще изглежда тогава уравнението?

$$(4+300p)x=400$$

Съвпада с представата ни за цената – 4 евро е основната такса, тя по никакъв начин не се променя. А цената за 300 страници пресмятаме, като умножим цената за страница, т.е. параметъра p, по триста. Какво ще е решението на уравнението? Трябва да изразим x:

$$\begin{array}{r}(4+300p)x=400\\ x=\frac{400}{4+300p}\end{array}$$

Това е всичко. Сега е достатъчно да знаем цената за страница и веднага пресмятаме колко книги получаваме. Ако цената за страница е един евроцент, след като заместим p, получаваме:

$$x=\frac{400}{4+300\cdot 0,01}=\frac{400}{4+3}=\frac{400}{7}\approx 57$$

Бихме си купили 57 книги. Това вече е доста хубаво.

Общо уравнение с параметър

При общото уравнение с параметър се опитваме да разберем какво решение има уравнението в зависимост от стойността на параметъра. Пример за такова уравнение може да бъде:

$$(2p+2)x-6=0$$

Първо установяваме кога от такова уравнение изчезва неизвестното x. Това става, когато коефициентът пред неизвестното е равен на нула, т.е. когато 2p + 2 = 0. Решаваме това уравнение и получаваме:

$$\begin{array}{rcl}2p+2& =& 0\\ 2p& =& -2\\ p& =& -1\end{array}$$

Ако параметърът p е равен на минус едно, от уравнението изпада неизвестното x и получаваме уравнение във вида: −6 = 0. Това уравнение няма решение.

Остава да пресметнем решението в случая, когато p ≠ − 1. Решението пресмятаме по обичайния начин, само че не получаваме „крайно“ решение, а решение, зависещо от параметъра p. Изразяваме x:

$$\begin{array}{rcl}(2p+2)x-6& =& 0/+6\\ (2p+2)x& =& 6/:(2p+2)\\ x& =& \frac{6}{2p+2}\\ x& =& \frac{3}{p+1}\end{array}$$

Това е окончателният резултат. Ако p ≠ − 1, коренът на уравнението е равен на дробта 3/(p + 1).