Persamaan irasional

Persamaan irasional adalah persamaan yang variabelnya berada di bawah tanda akar. Namanya bukan berarti persamaan itu tidak masuk akal, melainkan bahwa di dalamnya muncul bentuk akar, yang sering menghasilkan bilangan irasional. Misalnya yang ini:

$$\sqrt{x+3}=5$$

Tanda akar kita hilangkan dengan mengkuadratkan kedua ruas persamaan. Pengkuadratan dan penarikan akar saling meniadakan, karena ${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+3}& =& 5{/}^2\\ x+3& =& 25/-3\\ x& =& 22\end{array}$$

Untuk memastikan, kita lakukan pemeriksaan: hasilnya kita substitusikan secara terpisah ke ruas kiri dan ke ruas kanan persamaan semula, lalu keduanya kita bandingkan.

$$\begin{array}{rcl}\text{ruas kiri}& =& \sqrt{22+3}=\sqrt{25}=5\\ \text{ruas kanan}& =& 5\end{array}$$

Ruas kiri sama dengan ruas kanan, cocok. Substitusi ini terlihat seperti ketelitian yang berlebihan, padahal pada persamaan irasional langkah ini sama pentingnya dengan pengkuadratan itu sendiri; tanpa pemeriksaan, hasilmu belum lengkap. Seluruh langkahnya ada empat: mengisolasi bentuk akar, mengkuadratkan persamaan, menyelesaikan persamaan yang diperoleh, dan terakhir melakukan pemeriksaan.

Mengapa pemeriksaan wajib

Pengkuadratan bukan operasi ekuivalen. Dari kesamaan dua bilangan memang diperoleh kesamaan kuadratnya, tetapi arah sebaliknya tidak berlaku: 3 ≠ − 3, padahal 3² = (−3)² = 9. Karena itu, pengkuadratan dapat menghasilkan persamaan dengan penyelesaian lebih banyak daripada persamaan semula. Perhatikan persamaan

$$\sqrt{x+2}=x.$$

Kedua ruas kita kuadratkan, lalu semua suku kita pindahkan ke satu ruas:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+2}& =& x{/}^2\\ x+2& =& x^2/-x-2\\ 0& =& x^2-x-2\end{array}$$

Kita memperoleh persamaan kuadrat. Persamaan ini dapat difaktorkan menjadi (x − 2)(x + 1) = 0, sehingga akar-akarnya adalah x = 2 dan x = −1. Sekarang giliran pemeriksaan, pertama dengan 2:

$$\begin{array}{rcl}\text{ruas kiri}& =& \sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2\\ \text{ruas kanan}& =& 2\end{array}$$

Kedua ruas sama, jadi 2 adalah penyelesaian. Bagaimana dengan minus satu?

$$\begin{array}{rcl}\text{ruas kiri}& =& \sqrt{-1+2}=\sqrt{1}=1\\ \text{ruas kanan}& =& -1\end{array}$$

Ruas kiri menghasilkan satu, ruas kanan minus satu, sehingga kedua ruas tidak sama. Minus satu bukan penyelesaian, meskipun perhitungan kita dengan jujur menghasilkannya. Persamaan ini hanya mempunyai satu penyelesaian, yaitu x = 2.

Dari mana akar palsu ini berasal? Gambar menunjukkannya paling jelas. Ruas kiri persamaan adalah fungsi $y=\sqrt{x+2}$ (merah), ruas kanan adalah garis y = x (biru). Penyelesaian persamaan adalah tempat kedua grafik itu berpotongan, dan itu hanya titik (2, 2), yaitu x = 2.

Garis putus-putus abu-abu adalah fungsi $y=-\sqrt{x+2}$. Jika $y=\sqrt{x+2}$ dan $y=-\sqrt{x+2}$ dikuadratkan, tanda minusnya hilang dan keduanya menjadi y² = x + 2 yang sama. Jadi, pengkuadratan menyatukan persamaan $\sqrt{x+2}=x$ dan $-\sqrt{x+2}=x$ menjadi satu, lalu persamaan kuadratnya menemukan titik potong keduanya. Kurva abu-abu bertemu garis di titik (−1, −1), dan dari situlah minus satu kita berasal. Penyusup seperti ini hanya bisa diungkap dengan pasti melalui pemeriksaan.

Gambar itu juga menunjukkan hal lain: kedua kurva akar, yang merah maupun yang abu-abu, baru dimulai di x = −2. Bilangan di bawah tanda akar tidak boleh negatif, sehingga persamaan hanya bermakna untuk x ≥ − 2. Akar palsu minus satu termasuk dalam rentang ini, sehingga syarat itu tidak menyaringnya. Hanya pemeriksaan yang mengungkapnya.

Isolasi bentuk akar lebih dulu

Mari kita kerjakan persamaan berikutnya:

$$\sqrt{2x-3}+3=x.$$

Sangat menggoda untuk langsung mengkuadratkan ruas kiri beserta bilangan 3. Namun, kuadrat suatu jumlah tidak dihitung suku demi suku, (a + b)² = a² + 2ab + b², sehingga kita akan memperoleh

$${(\sqrt{2x-3}+3)}^2=2x-3+6\sqrt{2x-3}+9$$

dan bentuk akarnya masih tetap mengintai dalam persamaan, hanya dalam rupa yang lebih jelek. Karena itu, bentuk akar kita isolasi lebih dulu di satu ruas, baru kemudian kita kuadratkan:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{2x-3}+3& =& x/-3\\ \sqrt{2x-3}& =& x-3{/}^2\\ 2x-3& =& x^2-6x+9/-2x+3\\ 0& =& x^2-8x+12\end{array}$$

Ruas kanan kita kuadratkan dengan rumus yang sama, (x − 3)² = x² − 6x + 9. Persamaan kuadratnya dapat difaktorkan menjadi (x − 6)(x − 2) = 0 dengan akar-akar x = 6 dan x = 2. Kita mulai pemeriksaan dengan 6:

$$\begin{array}{rcl}\text{ruas kiri}& =& \sqrt{2\cdot 6-3}+3=\sqrt{9}+3=6\\ \text{ruas kanan}& =& 6\end{array}$$

Kedua ruas sama, 6 memenuhi. Sekarang 2:

$$\begin{array}{rcl}\text{ruas kiri}& =& \sqrt{2\cdot 2-3}+3=\sqrt{1}+3=4\\ \text{ruas kanan}& =& 2\end{array}$$

Empat bukan dua, kedua ruas tidak sama. Awas, jebakan! Penyelesaiannya hanya x = 6.

Mengapa 2 gagal dalam pemeriksaan? Setelah isolasi, kita memperoleh $\sqrt{2x-3}=x-3$. Akar kuadrat tidak pernah negatif, sehingga persamaan hanya bisa benar untuk x yang membuat x − 3 paling sedikit nol. Untuk x = 2, ruas kanan bernilai −1, dan tidak ada akar kuadrat yang menghasilkan bilangan itu. Syarat ini bisa kamu periksa sejak awal, tetapi substitusi di akhir lebih praktis dan menangkap semua masalah sekaligus.

Kadang-kadang pemeriksaan tidak meloloskan apa pun. Persamaan $\sqrt{x}+5=1$ setelah isolasi berubah menjadi $\sqrt{x}=-4$. Setelah dikuadratkan diperoleh x = 16, tetapi pemeriksaan menghasilkan ruas kiri $\sqrt{16}+5=9$ dan ruas kanan 1, sehingga kedua ruas tidak sama. Persamaan ini tidak mempunyai penyelesaian, dan hal ini sebenarnya sudah jelas sejak awal, karena akar kuadrat tidak pernah sama dengan minus empat.

Dua bentuk akar

Jika dalam persamaan ada dua bentuk akar, satu kali pengkuadratan biasanya tidak cukup. Namun, langkahnya tetap sama: isolasi, kuadratkan, dan jika masih ada bentuk akar, ulangi seluruh putaran. Kita coba persamaan ini:

$$\sqrt{x+5}-\sqrt{x}=1.$$

Kedua bentuk akar tidak bisa diisolasi sekaligus, jadi setidaknya $\sqrt{x}$ kita pindahkan ke ruas kanan, sehingga setiap bentuk akar berada di ruas yang berbeda. Jika selisih di ruas kiri kita kuadratkan, kita akan memperoleh hasil kali $\sqrt{x+5}\cdot \sqrt{x}$, yang sangat mempersulit penyelesaian. Jadi, kita kuadratkan seperti ini:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+5}& =& 1+\sqrt{x}{/}^2\\ x+5& =& 1+2\sqrt{x}+x\end{array}$$

Di ruas kanan kita kembali mengkuadratkan bentuk dua suku, sehingga muncul suku tengah $2\sqrt{x}$. Untungnya, suku-suku x saling menghapus dan hanya tersisa satu bentuk akar:

$$\begin{array}{rcl}x+5& =& 1+2\sqrt{x}+x/-x-1\\ 4& =& 2\sqrt{x}/:2\\ 2& =& \sqrt{x}{/}^2\\ 4& =& x\end{array}$$

Kita mengkuadratkan dua kali, sehingga pemeriksaan di sini dua kali lebih penting:

$$\begin{array}{rcl}\text{ruas kiri}& =& \sqrt{4+5}-\sqrt{4}=3-2=1\\ \text{ruas kanan}& =& 1\end{array}$$

Kedua ruas sama, cocok. Persamaan ini mempunyai penyelesaian x = 4.