Pertidaksamaan kuadrat

Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat dapat ditulis seperti ini: ax² + bx + c > 0 atau ax² + bx + c < 0, dengan a, b, c sembarang bilangan real dan a ≠ 0. Sebagai pengganti “lebih dari” dan “kurang dari”, tentu saja kita juga bisa memakai “lebih dari atau sama dengan” dan “kurang dari atau sama dengan”.

Koefisien a positif

Pertidaksamaan seperti ini diselesaikan dengan cara yang mirip dengan persamaan kuadrat biasa. Pertama, kita hitung diskriminan, lalu dari hasilnya kita tentukan langkah selanjutnya. Jika diskriminannya positif, persamaan yang bersesuaian mempunyai dua akar real. Akar persamaan adalah titik pada sumbu x tempat grafik fungsi ax² + bx + c memotong sumbu x. Kedua titik potong ini membagi sumbu x menjadi tiga interval.

Mari kita selesaikan pertidaksamaan 2x² − 7x + 3 < 0. Kita gambar grafik fungsi 2x² − 7x + 3, dan hasilnya seperti ini:

Terlihat bahwa grafik memotong sumbu x di dua titik: $x_1=\frac{1}{2}$ dan x₂ = 3. Jika kita menyelesaikan persamaan kuadrat biasa, kita akan memperoleh penyelesaian yang sama, karena diskriminan persamaan ini adalah

$$D=b^2-4ac=(-7{)}^2-4\cdot 2\cdot 3=49-24=25$$

Akar-akarnya kemudian dihitung seperti ini:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{7-5}{4}=\frac{1}{2}\\ x_2& =& \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{7+5}{4}=3\end{array}$$

Kedua akar ini membagi grafik fungsi 2x² − 7x + 3 menjadi tiga interval.

• $(-\mathrm{\infty },\frac{1}{2})$: pada interval ini nilainya positif (grafik berada “di atas” sumbu x, bagian grafik yang biru)
• $(\frac{1}{2},3)$: pada interval ini nilainya negatif (grafik berada “di bawah” sumbu x, bagian grafik yang merah)
• (3, ∞): pada interval ini nilainya kembali positif, yaitu sisa bagian grafik yang biru.

Perhatikan bahwa pada interval-interval ini kita memakai kurung biasa, yang menandakan interval terbuka. Artinya, bilangan 3 dan $\frac{1}{2}$ tidak termasuk dalam interval $(\frac{1}{2},3)$. Hal ini karena di titik x = 3 fungsi bernilai nol, sedangkan kita ingin menuliskan interval tempat nilainya kurang dari nol.

Sekarang kita sudah mengetahui semua informasi yang diperlukan untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan 2x² − 7x + 3 < 0. Kita bertanya: kapan nilai fungsi 2x² − 7x + 3 kurang dari nol? Nilainya kurang dari nol pada interval $(\frac{1}{2},3)$, yaitu bagian grafik yang merah.

Kita juga bisa mencoba menyelesaikan pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut:

• 2x² − 7x + 3 ≤ 0: pertidaksamaan ini berbeda dari sebelumnya karena memakai ≤, bukan sekadar <. Hasilnya sama dengan kasus sebelumnya, hanya saja kita memakai interval tertutup, bukan interval terbuka. Jadi, hasilnya adalah interval $[\frac{1}{2},3]$, karena di titik $\frac{1}{2}$ dan 3 fungsi 2x² − 7x + 3 bernilai nol, sedangkan sekarang kita mencari kapan fungsi ini kurang dari atau sama dengan nol. Jangan lupa, pertidaksamaannya memakai tanda ≤.

• 2x² − 7x +3 > 0: hasilnya adalah “bagian biru” grafik fungsi. Interval-interval hasilnya harus kita gabungkan, karena fungsi bernilai positif pada interval $(-\mathrm{\infty },\frac{1}{2})$ maupun pada interval (3, ∞). Himpunan hasilnya adalah $(-\mathrm{\infty },\frac{1}{2})\cup (3,\mathrm{\infty })$.

• 2x² − 7x +3 ≥ 0: sekali lagi kita hanya mengganti > dengan ≥. Hasilnya himpunan yang sama, hanya saja anggota $\frac{1}{2}$ dan 3 ikut kita masukkan, yaitu dengan ujung interval yang tertutup: $(-\mathrm{\infty },\frac{1}{2}]\cup [3,\mathrm{\infty })$.

Koefisien a negatif

Apa yang terjadi jika pertidaksamaan sebelumnya kita ganti menjadi −x² + x + 2 < 0? Perubahan utama terjadi pada koefisien a, yang sekarang bernilai a = −1. Pada pertidaksamaan sebelumnya ada 2x², yaitu koefisien x² positif, sedangkan di sini koefisiennya negatif. Paling baik kita lihat grafiknya:

Terlihat bahwa perubahan utama grafiknya adalah bentuknya tidak lagi seperti huruf “U”, melainkan seperti bukit. Namun, langkah-langkahnya sama sekali tidak berubah. Sekali lagi terbentuk tiga interval:

• (−∞, −1): nilainya negatif.
• (−1, 2): nilainya positif.
• (2, ∞): nilainya negatif.

Jadi, penyelesaian pertidaksamaan −x² + x + 2 < 0 adalah gabungan interval (−∞, −1) ∪ (2, ∞).

Penyelesaian tanpa menggambar grafik

Tidak perlu selalu menggambar grafik! Semua penyelesaian sebelumnya didasarkan pada grafik yang kita gambar. Dari grafik itu kita membaca titik potong dengan sumbu x dan juga apakah nilai fungsi pada suatu interval positif atau negatif. Namun, ada cara lain.

Jika kita mempunyai pertidaksamaan kuadrat 3x² − 4x + 1 < 0, kita cukup menyelesaikan persamaan kuadrat 3x² − 4x + 1 = 0 dengan cara biasa. Kita hitung diskriminannya:

$$D=b^2-4ac=(-4{)}^2-4\cdot 3\cdot 1=4$$

Selanjutnya, kita hitung akar-akar persamaan kuadratnya:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{4-2}{6}=\frac{1}{3}\\ x_2& =& \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{4+2}{6}=1\end{array}$$

Kita tahu bahwa grafik memotong sumbu x di titik $x_1=\frac{1}{3}$ dan x₂ = 1. Terbentuk tiga interval: $(-\mathrm{\infty },\frac{1}{3})$, $(\frac{1}{3},1)$, (1,∞). Pertanyaannya, bagaimana mengetahui apakah fungsi f(x) = 3x² − 4x + 1 bernilai positif atau negatif pada setiap interval?

Caranya, ke fungsi f(x) = 3x² − 4x + 1 kita substitusikan suatu bilangan dari setiap interval (uji titik). Jika hasilnya positif, fungsi bernilai positif pada seluruh interval itu. Hal yang sama berlaku untuk nilai negatif.

• Kita pilih sembarang bilangan dari interval $(-\mathrm{\infty },\frac{1}{3})$, misalnya nol, karena mudah dihitung. Kita substitusikan nol ke fungsi f: f(0) = 3 · 0² − 4 · 0 + 1 = 1. Bilangan 1 positif, jadi pada interval ini nilainya positif.

• Kita pilih bilangan dari interval $(\frac{1}{3},1)$, paling mudah setengah:

  $$f(\frac{1}{2})=3\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2-4\cdot \frac{1}{2}+1=3\cdot \frac{1}{4}-2+1=-\frac{1}{4}$$

  Bilangan $-\frac{1}{4}$ negatif, jadi pada interval ini semua nilainya negatif.

• Pada interval terakhir, nilainya sama dengan interval pertama, yaitu positif. Tandanya selalu bergantian: positif – negatif – positif atau negatif – positif – negatif. Namun, kita juga boleh menghitungnya. Kita pilih bilangan dari interval (1,∞), misalnya 10:

  $$f(10)=3\cdot {10}^2-4\cdot 10+1=300-40+1=261$$

  Ini bilangan positif, jadi semua nilai pada interval ini positif.

Tinggal menyelesaikan seluruh pertidaksamaan, yaitu 3x² − 4x + 1 < 0. Berdasarkan informasi tadi, kita tahu bahwa fungsi 3x² − 4x + 1 bernilai negatif pada interval $(\frac{1}{3},1)$. Untuk memeriksanya, kita bisa melihat grafiknya:

Diskriminan nol

Saat menyelesaikan persamaan kuadrat, kita bisa memperoleh diskriminan nol. Hal ini terjadi jika grafik fungsi menyinggung sumbu x di satu titik. Kita lihat pada pertidaksamaan 3x² + 6x + 3 ≥ 0. Diskriminannya sama dengan nol:

$$D=b^2-4ac=6^2-4\cdot 3\cdot 3=36-36=0$$

Grafiknya tampak seperti ini:

Terlihat bahwa grafik menyinggung sumbu x hanya di satu titik, yaitu x₁ = −1, dan bagian grafik lainnya berada di atas sumbu x, pada nilai positif. Artinya, penyelesaian pertidaksamaan 3x² + 6x + 3 ≥ 0 adalah seluruh himpunan bilangan real, karena bilangan real berapa pun yang kita substitusikan untuk x, nilainya selalu lebih dari atau sama dengan nol.

Diskriminan negatif

Jika diskriminannya negatif, artinya grafik tidak pernah memotong sumbu x. Apa akibatnya bagi pertidaksamaan kita? Grafik seluruhnya berada di atas sumbu x atau seluruhnya di bawah sumbu x. Jika pertidaksamaan sebelumnya kita ubah menjadi 3x² + 6x + 4 > 0 (tanda ≥ kita ganti dengan > dan bilangan tiga kita ganti dengan empat), diskriminannya menjadi:

$$D=6^2-4\cdot 3\cdot 4=-12$$

dan grafiknya tampak seperti ini:

Grafik ini seluruhnya berada di atas sumbu x. Bilangan real berapa pun yang kita substitusikan untuk x, nilainya selalu positif. Jadi, penyelesaian pertidaksamaan ini juga himpunan semua bilangan real.