Persamaan trigonometri

Persamaan trigonometri adalah persamaan yang memuat suatu fungsi trigonometri, yaitu sinus, kosinus, tangen, atau kotangen.

Persamaan trigonometri sederhana

Diberikan persamaan sin x = 0. Untuk x berapa persamaan ini benar? Kapan sinus sama dengan nol? Kita mulai dengan melihat grafiknya:

Ternyata sin x cukup sering bernilai nol, tepatnya untuk nilai −π, 0, π, 2π dan banyak nilai lainnya. Karena sinus adalah fungsi periodik, jarak antara penyelesaian-penyelesaian persamaan ini teratur, dalam hal ini selang dengan panjang π. Karena itu, himpunan semua penyelesaian persamaan ini dapat kita tulis sebagai himpunan penyelesaian HP yang didefinisikan seperti ini:

$$\mathrm{HP}=\{K\cdot \pi |K\in \mathbb{Z}\}$$

Jadi, penyelesaiannya adalah semua kelipatan bilangan pi, yaitu K kali pi, dengan K suatu bilangan bulat. Dengan ini kita sudah menuliskan himpunan semua penyelesaian persamaan sin x = 0.

Ingat bahwa sinus dan kosinus mempunyai daerah hasil pada interval [−1, 1]. Jadi, persamaan sin x = 2 tidak mempunyai penyelesaian, karena kita tidak dapat menemukan x yang membuat bentuk sin x bernilai lebih dari satu. Tentu saja persamaan 3 · sin x = 2 sudah mempunyai penyelesaian, karena kedua ruas dapat kita bagi tiga, dan di ruas kanan akan ada bilangan yang kurang dari satu. Kita akan mencari akar-akar persamaan sin x = 2/3.

Menyelesaikan contoh sederhana

Persamaan trigonometri sederhana kita selesaikan dengan membaca nilainya, misalnya dari grafik atau dari lingkaran satuan, lalu menentukan periode yang ditambahkan ke hasil itu. Contoh: selesaikan persamaan

$$\sin x=\frac{1}{2}$$

Grafik fungsi sinus ada di atas, jadi kita lihat kapan kurvanya bernilai $\frac{1}{2}$. Ternyata hal ini terjadi pada 1/6π dan 5/6π. Sangat dianjurkan untuk menghafal nilai trigonometri sudut istimewa, karena tanpa itu melihat grafik pun tidak akan banyak membantu.

Sekarang kita harus menentukan periodenya, agar tahu cara menyusun himpunan semua penyelesaian. Fungsi sinus mempunyai periode 2π: jika kamu melihat grafiknya, kamu akan melihat bahwa setiap 2π fungsi ini mulai berulang.

Jadi, jika salah satu penyelesaian persamaan adalah 1/6π, setiap bilangan 1/6π + 2Kπ, dengan K bilangan bulat, juga harus merupakan penyelesaian persamaan, karena di titik itu fungsi sinus mempunyai nilai fungsi yang sama. Bentuk 2K hanya menyatakan bahwa kita menginginkan bilangan bulat genap saja. Jika K kamu substitusikan dengan bilangan bulat berapa pun lalu kamu kalikan dua, hasilnya bilangan genap. Hal yang sama berlaku untuk akar kedua, 5/6π. Di titik 5/6π, 5/6π + 14π, dan 5/6π − 82π, fungsi sin x mempunyai nilai fungsi yang sama, sehingga semua 5/6π + 2Kπ adalah penyelesaian persamaan.

Kita tuliskan himpunan penyelesaian HP, yaitu gabungan kedua hasil tadi:

$$\mathrm{HP}=\{\frac{1}{6}\pi +2K\pi |K\in \mathbb{Z}\}\cup \{\frac{5}{6}\pi +2K\pi |K\in \mathbb{Z}\}$$

Secara grafis, penyelesaiannya dapat digambarkan sebagai titik potong grafik fungsi sin x (grafik merah) dan fungsi $y=\frac{1}{2}$ (grafik hijau).

Misalnya, jika K kita substitusikan dengan K = 0, diperoleh penyelesaian:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \frac{1}{6}\pi +2K\pi =\frac{1}{6}\pi +2\cdot 0\cdot \pi =\frac{1}{6}\pi \\ x_2& =& \frac{5}{6}\pi +2K\pi =\frac{5}{6}\pi +2\cdot 0\cdot \pi =\frac{5}{6}\pi \end{array}$$

Jadi, x₁ = 1/6π dan x₂ = 5/6π. Pada gambar, keduanya sesuai dengan titik B dan C, karena absis (koordinat x) titik-titik itu berturut-turut 1/6π dan 5/6π. Jika kita substitusikan K = 1, diperoleh titik D dan E.

Substitusi

Jika di dalam fungsi ada bentuk yang lebih rumit, kita dapat menggunakan substitusi (pemisalan). Misalnya, untuk menyelesaikan persamaan sin 2x = 1, kita misalkan a = 2x, lalu kita lanjutkan dengan persamaan berbentuk sin a = 1, persis seperti pada bagian sebelumnya. Substitusi biasanya dilakukan dengan mengambil argumen fungsi, dalam hal ini 2x, lalu menggantinya dengan variabel lain. Namanya boleh apa saja; di sini kita memilih nama a. Kita juga boleh memakai pemisalan q = 2x atau jeruk = 2x, lalu menulis sin jeruk = 1.

Jadi, substitusi menyederhanakan bentuk yang sedang kita hitung. Fakta bahwa a sebenarnya sama dengan 2x akan kita urus nanti.

Sekarang kita menyelesaikan persamaan sin a = 1 dengan a sebagai variabel. Kita mencari kapan sinus sama dengan satu. Diperoleh bahwa sinus sama dengan satu untuk nilai π/2 + 2Kπ. Jadi, akar-akar persamaan sin a = 1 adalah anggota himpunan

$$\mathrm{HP}=\{\frac{\pi }{2}+2K\pi |K\in \mathbb{Z}\}.$$

Terakhir, kita harus ingat pada pemisalan kita dan mengembalikannya (substitusi balik). Kita tahu bahwa penyelesaian persamaan sin a = 1 adalah anggota himpunan HP tadi. Akan tetapi, kita ingin mengetahui penyelesaian persamaan lain, yaitu sin 2x = 1. Kita juga tahu bahwa a = 2x.

Mari kita ambil satu penyelesaian konkret dari himpunan HP. Misalnya, untuk K = 1 diperoleh penyelesaian a = π/2 + 2π. Di titik ini persamaan sin a = 1 dipenuhi. Karena a = 2x, berlaku pula 2x = π/2 + 2π (kita hanya menulis 2x sebagai pengganti a).

Namun, yang kita cari bukan 2x, melainkan nilai x, sehingga kedua ruas persamaan kita bagi dua. Diperoleh persamaan x = π/4 + π. Kita sudah mendapatkan satu penyelesaian konkret persamaan sin 2x = 1.

Untuk memperoleh semua penyelesaian, langkah ini harus kita lakukan pada semua anggota himpunan HP. Jadi, kita susun persamaan seperti ini:

$$2x=\frac{\pi }{2}+2K\pi$$

lalu x kita isolasi, artinya kedua ruas persamaan kita bagi dua:

$$x=\frac{\pi }{4}+K\pi$$

Inilah penyelesaian akhirnya. Kita tuliskan lagi dalam notasi himpunan sebagai himpunan baru HP':

$${\mathrm{HP}}^{\prime }=\{\frac{\pi }{4}+K\pi |K\in \mathbb{Z}\}$$

Kebenaran penyelesaian ini sekali lagi dapat kita periksa secara grafis. Merah adalah grafik fungsi sin 2x dan hijau adalah fungsi y = 1.

Jika K kita substitusikan dengan K = 0, diperoleh x = π/4, yaitu titik C. Jika kita substitusikan K = 2, diperoleh x = π/4 + 2π, yaitu titik E.

Rumus-rumus

Saat menyelesaikan persamaan trigonometri, sering dipakai berbagai rumus yang perlu kamu kuasai. Sebagian merupakan rumus dasar, sebagian lagi lebih rumit. Rumus-rumus trigonometri sudah dipindahkan ke halaman tersendiri, jadi lihatlah di sana.

Contoh soal

1. Selesaikan persamaan sin(3x − π/2) = 0.

   Kita gunakan substitusi sederhana a = 3x − π/2, lalu kita selesaikan persamaan sin a = 0. Kita sudah tahu bahwa sinus sama dengan nol untuk a = Kπ. Jadi, kita lakukan substitusi balik, lalu kita selesaikan persamaan:

   $$3x-\frac{\pi }{2}=K\pi$$

   Pertama, π/2 kita pindahkan ke ruas kanan, yaitu kedua ruas kita tambah π/2:

   $$3x=K\pi +\frac{\pi }{2}$$

   Lalu kedua ruas kita bagi tiga:

   $$x=\frac{K\pi }{3}+\frac{\pi }{6}$$

   Jadi, hasilnya adalah himpunan HP₁ yang didefinisikan seperti ini:

   $${\mathrm{HP}}_1=\{\frac{K\pi }{3}+\frac{\pi }{6}|K\in \mathbb{Z}\}$$

   Sekali lagi, gambarnya:

   

   Untuk K = 1 diperoleh x = π/3 + π/6 = π/2, yaitu titik E.

2. Selesaikan persamaan cos²x − sin x = 1.

   Pertama, dengan rumus identitas kita uraikan cos² x menjadi 1 − sin² x. Kita substitusikan kembali ke persamaan dan diperoleh:

   $$\begin{array}{rcl}1-{\sin }^{2}x-\sin x& =& 1\\ {\sin }^{2}x+\sin x& =& 0\end{array}$$

   Sekarang sin x kita keluarkan sebagai faktor:

   $$\sin x(\sin (x)+1)=0$$

   Ruas kiri persamaan sudah berbentuk hasil kali dan ruas kanannya nol. Karena itu, kita selesaikan persamaan sin x = 0 dan sin(x) + 1 = 0 secara terpisah, sebab seluruh ruas kiri bernilai nol jika paling sedikit salah satu faktornya bernilai nol.

   Persamaan sin x = 0 sudah beberapa kali kita selesaikan. Penyelesaiannya adalah x berbentuk Kπ, dengan K suatu bilangan bulat.

   Persamaan kedua, sin(x) + 1 = 0, kita ubah menjadi sin(x) = −1. Sinus sama dengan minus satu untuk nilai 3/2π + 2Kπ.

   Semua anggota himpunan penyelesaian HP₂ kemudian kita peroleh dengan menggabungkan keduanya.

   $${\mathrm{HP}}_2=\{\frac{3}{2}\pi +2K\pi |K\in \mathbb{Z}\}\cup \{K\pi |K\in \mathbb{Z}\}$$

   Gambarnya:

   

   Terlihat bahwa absis (koordinat x) titik A, C, D, dan F adalah kelipatan π, sehingga titik-titik ini dinyatakan oleh himpunan kanan pada gabungan tadi. Jika pada himpunan kiri dalam gabungan itu K kita substitusikan dengan K = 0, diperoleh x = 3π/2, yang sesuai dengan titik E. Jika kita substitusikan K = −1, diperoleh x = 3π/2 − 2π = −π/2, yang sesuai dengan titik B.

3. Selesaikan persamaan cos² x − sin²x + cos x = 0.

   Pada langkah pertama, kita terapkan rumus sin²x = 1 − cos²x untuk menguraikan kuadrat sinus:

   $$\begin{array}{r}{\cos }^{2}x-(1-{\cos }^{2}x)+\cos x=0\\ {\cos }^{2}x-1+{\cos }^{2}x+\cos x=0\end{array}$$

   Pada langkah berikutnya, kita jumlahkan suku-sukunya:

   $$2{\cos }^{2}x+\cos x-1=0$$

   Terakhir, kita lakukan substitusi a = cos x.

   $$2a^2+a-1=0$$

   Persamaan ini kita selesaikan sebagai persamaan kuadrat biasa. Hasilnya:

   $$a_1=-1,a_2=\frac{1}{2}$$

   Terakhir, kita lakukan substitusi balik, menyelesaikan pasangan persamaan cos x = −1 dan $\cos x=\frac{1}{2}$, lalu menggabungkan himpunan penyelesaiannya. Langkah ini sudah mudah dan sudah kita kerjakan di atas.

4. Selesaikan persamaan sin²x − cos²x = 1.

   Pertama, kita terapkan rumus yang sudah dikenal, lalu kosinus kita nyatakan dengan sinus. Diperoleh:

   $$2{\sin }^{2}x=2$$

   Kedua ruas kita bagi dua, lalu kita kurangi satu:

   $${\sin }^{2}x-1=0$$

   Sekarang kita terapkan rumus a² − b² = (a − b)(a + b):

   $$(\sin (x)-1)\cdot (\sin (x)+1)=0$$

   Hasil kali dua bentuk sama dengan nol jika paling sedikit salah satu bentuk itu bernilai nol. Kapan sin x = 1 dan kapan sin x = −1 sudah kita ketahui. Penyelesaian persamaan trigonometri ini adalah:

   $${\mathrm{HP}}_4=\{\pi /2+2K\pi |K\in \mathbb{Z}\}\cup \{3\pi /2+2K\pi |K\in \mathbb{Z}\}=\{\pi /2+K\pi |K\in \mathbb{Z}\}$$

   Gambarnya: