Persamaan x pangkat n sama dengan a

Persamaan binomial (persamaan bentuk xⁿ = a) adalah persamaan aljabar.

Definisi

Bentuk umum persamaan binomial adalah sebagai berikut:

$$a{x}^n+b=0,$$

dengan a, b sembarang bilangan real atau bilangan kompleks. Selain itu, kita anggap a, b ≠ 0 dan n adalah bilangan asli.

Kasus-kasus khusus persamaan binomial:

• n = 1: Persamaannya berbentuk ax + b = 0, yaitu persamaan linear.
• n = 2: Persamaannya berbentuk ax² + b = 0, yaitu persamaan kuadrat.

Setiap persamaan binomial dapat diubah menjadi bentuk dengan koefisien xⁿ sama dengan 1 dengan membagi kedua ruas dengan bilangan a. Persamaannya menjadi:

$$x^n+\frac{b}{a}=0$$

Kita juga bisa melakukan pemisalan dan menulis c sebagai pengganti pecahan b/a. Jadi, jika c = b/a, persamaannya berbentuk:

$$x^n+c=0$$

Cara menyelesaikan persamaan binomial

Pertama, persamaan kita ubah ke bentuk dengan koefisien 1, lalu c kita pindahkan ke ruas kanan. Diperoleh persamaan

$$x^n=-c$$

Selanjutnya, kita tarik akar pangkat n dari kedua ruas.

$$x=\sqrt[n]{-c}$$

Persamaan ini kita selesaikan lebih lanjut dengan rumus penarikan akar bilangan kompleks. Rumusnya seperti ini:

$$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{|z|}[\cos (\frac{\alpha }{n}+\frac{2k\pi }{n})+i\sin (\frac{\alpha }{n}+\frac{2k\pi }{n})]$$

dengan

$$z=|z|(\cos \alpha +i\sin \alpha )$$

dan seluruh rumus berlaku untuk k = 0, 1, …, n − 1.

Contoh: hitunglah akar-akar persamaan x³ − 4 = 0. Setelah diubah ke bentuk dengan koefisien 1 dan ditarik akarnya, persamaannya menjadi:

$$x=\sqrt[3]{4}$$

Karena bilangan −c = 4 adalah bilangan real positif tanpa bagian imajiner, sudut α sama dengan nol, sehingga dapat dihilangkan dari rumus. Akar ke-k persamaan ini berbentuk:

$$x_k=\sqrt[3]{4}[\cos \left(\frac{2k\pi }{3}\right)+i\sin \left(\frac{2k\pi }{3}\right)]$$

Sekarang rumus ini harus kita terapkan untuk k = 0, 1, 2. Untuk k = 0 diperoleh:

$$x_0=\sqrt[3]{4}(\cos 0+i\sin 0)=\sqrt[3]{4}$$

Untuk k = 1:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \sqrt[3]{4}(\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3})\\ & =& \sqrt[3]{4}(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})\\ & =& \frac{1}{2}\sqrt[3]{4}(-1+i\sqrt{3})\end{array}$$

Untuk k = 2:

$$\begin{array}{rcl}{x}_2& =& \sqrt[3]{4}(\cos \frac{4\pi }{3}+i\sin \frac{4\pi }{3})\\ & =& \sqrt[3]{4}(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})\\ & =& -\frac{1}{2}\sqrt[3]{4}(1+i\sqrt{3})\end{array}$$

Selesai, kita memperoleh tiga akar: x₀, x₁, dan x₂.