Persamaan bikuadrat

Contoh persamaan bikuadrat adalah persamaan 3x⁴ + 7x² + 5 = 0. Secara umum, suatu persamaan disebut persamaan bikuadrat jika dapat diubah dengan operasi ekuivalen menjadi bentuk

$$a{x}^4+b{x}^2+c=0$$

dengan a, b, c bilangan real dan koefisien a tidak nol. Persamaan ini agak mirip dengan persamaan kuadrat, hanya saja pangkatnya dua kali lebih besar. Bagaimana cara menyelesaikannya? Dengan sedikit trik, kita ubah persamaan ini menjadi persamaan kuadrat. Trik itu disebut substitusi (pemisalan). Kita misalkan t = x², lalu di setiap tempat yang semula berisi x² kita tuliskan t. Sebagai contoh, ambil persamaan bikuadrat

$$x^4-2x^2-15=0$$

Setiap x² kita ganti dengan t. Jangan lupa bahwa x⁴ sebenarnya adalah x² · x², sehingga x⁴ = t²:

$$t^2-2t-15=0$$

Sekarang terlihat mengapa kita melakukan substitusi ini: kita memperoleh persamaan kuadrat biasa. Persamaan ini dapat kita selesaikan, misalnya, dengan menghitung diskriminan atau dengan metode melengkapkan kuadrat sempurna. Diskriminannya adalah

$$D=b^2-4ac=(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot (-15)=64$$

Jadi, akar-akar persamaannya adalah

$$t_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{2\pm \sqrt{64}}{2}=\frac{2\pm 8}{2}$$

Kita memperoleh dua akar persamaan:

$$t_1=5,t_2=-3$$

Sekarang kita sudah mengetahui penyelesaian persamaan kuadrat t² − 2t − 15 = 0. Tinggal menghitung penyelesaian persamaan bikuadrat semula. Kita tahu bahwa jika t sama dengan lima atau minus tiga, persamaan dipenuhi. Akan tetapi, kita tidak mencari penyelesaian untuk t, melainkan untuk x. Kita tahu bahwa t = x², karena itulah pemisalan yang kita pilih. Jadi, dengan menyelesaikan persamaan

$$x^2=5\text{dan}{x}^2=-3$$

kita memperoleh penyelesaian persamaan semula untuk x (substitusi balik). Persamaan pertama mudah: jika x² = 5, maka

$$x_1=\sqrt{5},x_2=-\sqrt{5}$$

Persamaan kedua lebih rumit, karena x² = −3 tidak mempunyai penyelesaian dalam himpunan bilangan real. Penyelesaiannya hanya dapat dicari dalam himpunan bilangan kompleks. Jika kita hanya mencari penyelesaian dalam himpunan bilangan real, persamaan bikuadrat semula mempunyai dua akar real, yaitu $x_1=\sqrt{5}$ dan $x_2=-\sqrt{5}$.