유리수
유리수는 두 정수의 몫, 즉 분수 꼴로 나타낼 수 있는 모든 수이다.
정의
즉 유리수는 다음 꼴로 나타낼 수 있는 모든 수이다.
두 수가 모두 정수라는 조건에는 분명한 의미가 있다. 유리수가 아닌 수, 예를 들어 π를 골라 다음과 같은 분수를 만들면
다시 유리수가 아닌 π가 나온다. 그래서 분모와 분자는 모두 정수여야 한다. 또 0으로는 나눌 수 없으므로 분모는 0이 아니어야 한다.
유리수는 유한소수, 그리고 어떤 부분이 끝없이 되풀이되는 무한소수(순환소수)라고 할 수도 있다. 유리수의 예를 먼저 분수로 보자.
그리고 소수로 나타낸 수: 0.1; −5; 14.5; −12.93; 0.33333…=
순환소수의 표기
앞의 예에 수 0.3333…이 있었다. 이것은 분수 1/3을 소수로 나타낸 것이며 무한소수이다. 그래도 순환하므로 유리수이다. 순환한다는 것은 어떤 자리부터 같은 숫자의 배열이 끝없이 되풀이된다는 뜻이다. 이 예에서는 3이 끝없이 되풀이되었다. 하지만 예를 들어 숫자 배열 12345가 끝없이 되풀이되어도 순환소수, 즉 유리수이다.
따라서 유한소수는 모두 유리수이다. 어떤 부분이 순환하는 무한소수도 모두 유리수이다. 순환하는 부분이 없는 무한소수는 무리수이다.
순환마디는 점 세 개로 나타내거나, 더 흔히는 되풀이되는 숫자 위에 표시를 해서 나타낸다(한국 교과서에서는 순환마디의 양 끝 숫자 위에 점을 찍고, 이 글에서는 선을 긋는다). 숫자 하나가 되풀이될 수도 있고 여러 개가 되풀이될 수도 있다. 순환은 소수점 바로 뒤에서 시작할 수도 있고 더 나중에 시작할 수도 있다. 다음은 모두 순환소수이다.
기호와 뜻
유리수 전체의 집합은 둥근 부분을 겹쳐 그은 문자 Q, 즉 ℚ로 나타낸다. 나눗셈의 결과를 뜻하는 영어 “quotient”(몫)에서 왔다.
유리수는 전체에 대한 부분을 나타낼 때 쓴다. 대표적인 예가 “절반”이나 “10분의 1”이다. 이것은 전체의 일부를 나타내며 유리수로는 몫 1/2, 1/10으로 나타낼 수 있다. 이때 분모는 전체를, 분자는 전체 가운데 부분을 나타낸다. 분자와 분모가 같으면 전체를 모두 가진 것이다. 이런 양은 보통 백분율로 바꾼다.
성질
- 유리수 전체의 집합은 무한집합이며 셀 수 있는 집합이다.
- 유리수는 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈에 대하여 닫혀 있다. 즉 두 유리수를 나누면 다시 유리수가 된다. 나눗셈에 대하여 닫혀 있지 않았던 정수와 다른 점이다.
- 유리수에는 모든 정수가 들어 있다. 모든 유리수를 분수 a/b로 나타낼 수 있다면 b = 1로 놓기만 하면 a/1 = a이므로 언제나 분자의 값을 다시 얻는다.
- a < b인 두 유리수 a와 b가 있으면 언제나 a < q < b를 만족하는 다른 유리수 q를 찾을 수 있다. 다시 말해 어떤 두 유리수 사이에도 언제나 다른 유리수가 있다. 더 강한 성질도 성립한다. 어떤 두 유리수 사이에도 다른 유리수가 무수히 많이 있다.
- 앞의 정리에서 가장 작은 양의 유리수(또는 가장 큰 음의 유리수)는 없다는 것을 알 수 있다. 귀류법을 쓰면 된다. m이 가장 작은 양의 유리수라고 하자. 그러면 이보다 작은 양의 유리수는 찾을 수 없어야 한다. 그런데 앞의 정리에 따르면 0 < m이므로 0 < s < m을 만족하는 유리수 s가 있다. 0보다 크고(양수이고) m보다 작은 수 s를 찾았다. 이것은 m이 가장 작은 양의 유리수라는 가정과 모순이다.
유리수의 계산
기본적인 계산은 모두 분수 글에서 설명한다.
순환소수를 분수로 나타내기
순환소수는 유리수이므로 분수로 바꿀 수 있어야 한다. 그 방법을 알아보자. 먼저 순환소수 a = 0.333…이 있다고 하자. 다음과 같이 쓴다.
이제 보통의 등식의 성질을 이용해 양변에 10을 곱한다.
우변에서는 3이 일의 자리로 옮겨 오고, 소수점 아래에는 여전히 3이 끝없이 있다. 이제 양변에서 a, 즉 0.333…을 빼면 무한소수 부분이 없어진다.
이 단계가 조금 복잡했을 수 있으므로 풀어 쓰면 다음과 같다.
위의 방정식 9a = 3의 양변을 9로 나누면 결과를 얻는다.
예를 하나 더 보자.
방법이 조금 다르다. 앞의 예에서는 순환마디의 길이가 1이었다. 정확히 말하면 같은 숫자가 계속 되풀이되므로 순환마디를 원하는 만큼 길게 잡을 수 있었지만, 길이 1로 잡는 것이 편했다. 이번에는 순환마디의 길이가 2이다. 길이를 6으로 잡을 수도 있지만 편하지 않다. 순환마디 전체를 빼려면 이번에는 100을 곱해야 한다.
a를 한 번 뺀다.
그리고 99로 나눈다.
계산기로 이 두 수를 나눠 보면 1.454545…가 나온다. 다만 대부분의 계산기는 반올림하므로 조금 다른 결과가 보일 수도 있다.
0.9999…의 재미있는 성질
재미로 다음 순환소수를 분수로 바꿔 보자.
10을 곱한다.
a를 뺀다.
9로 나눈다.
1이 나왔다. 즉 수 0.999…는 수 1과 같다.