삼각형의 합동

두 삼각형 가운데 하나를 종이에서 오려 내어 다른 하나에 꼭 맞게 포갤 수 있으면 두 삼각형은 합동이다. 오려 낸 삼각형은 마음대로 움직여도 된다. 옮기거나 돌리거나 뒤집어도 된다. 다만 늘이거나 줄이면 안 된다.

합동인 삼각형에서는 대응하는 변의 길이가 같고 대응하는 각의 크기가 같다. 그림에서 대응하는 변은 같은 색으로 칠했다. 변 AB와 KL, 변 BC와 LM, 변 AC와 KM의 길이가 각각 같다. 이것을 다음과 같이 쓴다.

$$\mathrm{△}ABC\equiv \mathrm{△}KLM$$

기호에서 꼭짓점의 순서는 아무렇게나 정한 것이 아니다. 어느 꼭짓점이 어느 꼭짓점에 포개지는지를 나타낸다. A는 K에, B는 L에, C는 M에 포개진다.

삼각형의 합동 조건

삼각형에는 변 세 개와 각 세 개, 모두 여섯 개의 요소가 있다. 두 삼각형이 합동인지 알아보려고 여섯 개를 모두 비교할 필요는 없다. 세 개면 충분하다. 다만 올바르게 골라야 한다. 어떤 세 요소면 충분한지는 다음 네 가지 합동 조건이 알려 준다. 그림에서 이 세 요소를 색으로 표시했다.

SSS 합동: 세 변의 길이가 각각 같은 두 삼각형은 합동이다. 세 변으로 삼각형을 그리는 방법을 떠올려 보자. 점 C는 컴퍼스로 그린 두 원의 교점으로 찾는다. 두 원은 변 AB의 위쪽과 아래쪽, 두 점에서 만나지만, 그렇게 생기는 두 삼각형은 같은 삼각형을 뒤집은 것일 뿐이다. 따라서 세 변이 주어지면 언제나 같은 삼각형이 나온다.

SAS 합동: 두 변과 그 끼인각이 같으면 충분하다. 각은 두 변이 만나는 꼭짓점에 있어야 한다.

ASA 합동: 한 변과 그 양 끝의 두 각이 같으면 충분하다. 두 각의 변은 한 점, 즉 세 번째 꼭짓점에서 만난다.

두 변과 긴 변의 대각: 두 변과, 그 가운데 긴 변의 맞은편에 있는 각이 같으면 충분하다. (한국의 교과서에서는 이 조건을 따로 다루지 않지만, 직각삼각형의 RHS 합동은 이 조건의 특별한 경우이다.)

세 요소로 부족한 경우

아무 세 요소나 같으면 된다고 말하고 싶어진다. 그렇지 않다.

세 각이 같은 것만으로는 부족하다. 각이 같은 삼각형은 사진과 그 확대 사진처럼 얼마든지 클 수 있다. 이런 삼각형은 모양은 같지만 크기는 다르고, 닮음이라고 한다.

두 변과 짧은 변의 대각이 같은 것도 부족하다. 그런 삼각형을 그려 보자. 먼저 각 α를 그리고, 그 한 변 위에 변 $c=\overline{AB}$를 잡는다. 점 C는 다른 변 위에 있고 점 B에서 a만큼 떨어져 있으므로, B를 중심으로 반지름이 a인 원을 그린다. a가 c보다 작으면 원이 각의 변과 두 점에서 만날 수 있다.

삼각형 ABC₁과 ABC₂는 변 a, c와 각 α가 같지만 합동이 아니다. a가 c보다 크다면 원은 각의 변과 한 번만 만난다. 이것이 앞의 네 번째 조건이 말하는 내용이다.

예제: 강의 폭

강가의 점 A에 서 있고, 바로 맞은편 기슭에 나무 S가 있다고 하자. 줄자를 강 건너로 늘일 수 없을 때 강의 폭은 어떻게 알아낼까?

강가를 따라 20 m를 걸어가서 말뚝 P를 박는다. 다시 20 m를 더 걸어서 점 B에 간다. 그곳에서 강과 수직인 방향으로 돌아서, 말뚝과 나무가 겹쳐 보일 때까지 걸어간다. 그곳이 점 C이다.

삼각형 APS와 BPC는 ASA 합동이다. 두 변 AP와 BP는 모두 20 m이다. A와 B에서의 각은 직각이다. 말뚝 P에서의 두 각은 맞꼭지각이므로 크기가 같다. 따라서 다음이 성립한다.

$$\mathrm{△}APS\equiv \mathrm{△}BPC,$$

변 BC의 길이는 변 AS의 길이, 즉 강의 폭과 같다.

점 B에서 점 C까지 36걸음을 걸었고 한 걸음이 약 75 cm라고 하자. 그러면 거리 $\overline{BC}$는 다음과 같다.

$$\overline{BC}\fallingdotseq 36\cdot 0.75=27\text{m}$$

강의 폭은 약 27 m이다. 물에 발 한 번 담그지 않고 알아냈다.

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