삼각형의 닮음

닮은 삼각형은 모양은 같지만 크기는 다를 수 있다. 하나는 다른 하나를 확대하거나 축소한 복사본이다. 복사기로 그림을 확대하는 것과 같다. 복사본은 돌리거나 뒤집어도 되고, 그래도 닮음인 것은 변하지 않는다.

닮은 삼각형에서는 대응하는 각의 크기가 같고 대응하는 변의 길이의 비가 같다. 그림에서 변 a'은 변 a의 두 배, 변 b'은 b의 두 배, c'은 c의 두 배이다. 이 수를 닮음비라고 하고 k로 나타낸다. 각 변은 k배 길다.

$$a^{\prime }=k\cdot a,b^{\prime }=k\cdot b,c^{\prime }=k\cdot c$$

그림에서는 k = 2이다. k가 1보다 작으면, 예를 들어 $k=\frac{1}{2}$이면 두 번째 삼각형은 반대로 축소된 것이다. 닮음은 다음과 같이 쓴다.

$$\mathrm{△}ABC\backsim \mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$$

합동과 마찬가지로 꼭짓점의 순서가 무엇이 무엇에 대응하는지 알려 준다. 꼭짓점 A는 꼭짓점 A'에, B는 B'에, C는 C'에 대응한다. 합동인 삼각형은 사실 닮음비가 k = 1인 닮음의 특별한 경우이다. 복사본이 더 크지도 작지도 않다.

삼각형의 닮음 조건

두 삼각형이 닮음인지는 모든 각과 모든 변을 확인하지 않아도 알 수 있다. 닮음 조건은 합동 조건과 비슷하다. 다만 길이가 같은 변 대신 길이의 비가 같은 변을 찾는다.

AA 닮음: 두 삼각형에서 크기가 같은 각이 두 쌍 있으면 두 삼각형은 닮음이다. 세 번째 각은 잴 필요가 없다. 삼각형의 세 각의 합은 언제나 180°이므로 세 번째 각도 반드시 같다.

SSS 닮음: 두 삼각형에서 대응하는 세 변의 길이의 비가 모두 같으면 두 삼각형은 닮음이다.

$$\frac{a^{\prime }}{a}=\frac{b^{\prime }}{b}=\frac{c^{\prime }}{c}$$

SAS 닮음: 대응하는 두 변의 길이의 비가 같고 그 끼인각의 크기가 같으면 충분하다.

예제: 나무의 높이

마당에 키가 큰 나무가 있는데, 정확히 몇 m인지 알고 싶다. 줄자를 들고 나무 꼭대기까지 올라가기는 싫다. 그래서 높이가 2 m인 막대를 땅에 수직으로 꽂는다. 막대의 그림자는 1.5 m이고, 같은 때 나무의 그림자는 12 m이다.

나무와 그 그림자와 햇빛은 삼각형을 이룬다. 막대와 그 그림자와 햇빛도 또 하나의 삼각형을 이룬다. 막대와 나무는 모두 땅에 수직으로 서 있으므로 두 삼각형은 밑에서 직각을 이룬다. 같은 때에는 햇빛이 같은 각도로 비치므로 그림자 끝의 각도 두 삼각형에서 같다. 크기가 같은 각이 두 쌍이므로 AA 닮음에 따라 두 삼각형은 닮음이다.

닮음비는 그림자에서 읽어 낼 수 있다. 나무의 그림자는 막대의 그림자보다 k배 길다.

$$k=12÷1.5$$

나누면 다음과 같다.

$$k=8$$

즉 나무는 막대보다 8배 높다. 나무의 높이는 다음과 같다.

$$h=8\cdot 2$$

곱하면 다음과 같다.

$$h=16\text{m}$$

나무의 높이는 16 m이다. 높이와 그림자의 비가 두 삼각형에서 같아야 한다는 것으로 답을 확인하자. 막대는 $2÷1.5=\frac{4}{3}$이고 나무는 $16÷12=\frac{4}{3}$이다. 맞는다.

넓이에 주의

변이 k배 길면 넓이도 k배 커진다고 결론짓고 싶어진다. 틀렸다. 넓이는 k²배 커진다.

모든 변이 두 배인 삼각형을 생각해 보자. 각 변의 중점을 이으면 이 삼각형은 네 개의 삼각형으로 나뉘고, 각각은 원래 삼각형과 똑같다.

닮음비가 k = 2이면 넓이는 두 배가 아니라 네 배이다. 일반적으로 삼각형 A'B'C'의 넓이는 다음과 같다.

$$S^{\prime }=k^2\cdot S,$$

여기서 S는 원래 삼각형의 넓이이다. k = 3이면 넓이는 아홉 배이다. 사진과 같다. 사진을 가로와 세로 모두 두 배로 확대하면 종이가 네 배 든다.

함께 보기

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