삼각형의 높이

삼각형의 높이는 선분이다. 선분의 한 끝점은 삼각형의 꼭짓점이고, 다른 끝점은 그 맞은편 변 위의 점이다. 이때 높이는 그 변에 수직이어야 한다.

예각삼각형

그림으로 보면 가장 잘 알 수 있다.

높이는 꼭짓점 C에서 그었다. 다른 끝점은 맞은편 변 AB(즉 변 c) 위에 있고, 선분 CP_c는 변 c에 수직이다. 점 P_c를 수선의 발이라고 하고, 변 c를 밑변이라고 한다. 수선의 발은 보통 문자 P에 높이를 그은 꼭짓점을 아래 첨자로 붙여 나타낸다. 이 경우에는 꼭짓점 C이다.

높이는 꽤 쉽게 그릴 수 있다. 자를 대고 변 c에 수직이면서 점 C를 지나는 직선을 그으면 된다. 그것으로 끝이다.

높이는 삼각형의 각 꼭짓점에서 그을 수 있다. 세 높이는 한 점에서 만나는데, 이 점을 수심이라고 한다. 수심은 삼각형 안에 있을 수도 있고 없을 수도 있다. 예각삼각형에서는 수심이 삼각형 안에 있다.

세 높이를 모두 빨간색으로 표시했다. 각 높이가 해당하는 변에 수직이라는 것에 주목하자. 높이는 소문자 h에 높이를 그은 꼭짓점을 아래 첨자로 붙여 나타낸다. 그래서 높이 BP_b를 높이 h_b라고 한다. 수심은 초록 점 H로 표시했다.

둔각삼각형

둔각삼각형에서는 요령이 조금 필요하다. 수심이 삼각형 바깥에 생기고, 몇몇 높이는 실제로는 만나야 할 변과 만나지 못한다. 이럴 때는 필요한 변을 알맞게 “늘인다”. 이번에도 그림을 보자.

굵게 표시한 삼각형 ABC가 기본이다. 이 삼각형은 각 ACB가 90도보다 크므로 둔각삼각형이다. 꼭짓점 C에서 내린 높이는 문제없이 그릴 수 있지만, 꼭짓점 B에서 내린 높이에서는 문제가 생긴다. 변 AC에 수직이면서 변 AC와 꼭짓점 B를 모두 지나는 직선은 없다. 이때는 반직선 AC를 그어 변 AC를 필요한 만큼 늘인다. 그리고 이 반직선에 수선을 내린다. 이번에는 수선을 그을 수 있고, 수선의 발은 새로 그은 반직선 위에 있다. 나머지 높이도 같은 방법으로 그린다.

이제 세 높이를 모두 그렸다. 문제는 이 높이들이 서로 만나지 않아서 수심이 생기지 않는다는 것이다. 그래서 높이의 방향으로 반직선 세 개를 새로 그어 삼각형 위쪽 어딘가에서 만나게 한다. 높이 자체는 바꾸지 않는다.

직각삼각형

직각삼각형에서는 가장 간단하다. 두 높이가 삼각형의 두 변, 즉 직각을 낀 두 변과 일치하기 때문이다. 수심은 빗변의 맞은편 꼭짓점이다.

높이의 길이

높이의 길이를 구해야 할 때가 있다. 예각삼각형의 높이 그림에서 시작하자.

높이 h_c가 표시되어 있으니 그 길이를 구해 보자. 높이 h_c는 당연히 변 AB에 수직이고, 이를 이용할 수 있다. 높이를 더 쉽게 구할 수 있는 새 삼각형을 만든다. 꼭짓점 B, C, P_c로 이루어진 삼각형이다. 그림에 빨간색으로 표시했다.

이제 삼각함수를 이용한다. 이를 위해 꼭짓점 B에서의 각 β도 알아야 한다. 그다음은 사인을 적용하기만 하면 된다. 사인은 빗변에 대한 대변의 비이다. 이 경우 대변은 h_c이고 빗변은 CB이다. 따라서 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{rcl}\sin (\beta )& =& \frac{h_c}{\overline{BC}}\\ h_c& =& \sin (\beta )\cdot \overline{BC}\end{array}$$

각 β의 크기는 약 53°8′이고 변 BC의 길이는 5이다. 대입하면 다음을 얻는다.

$$h_c=\sin ({53}^{\circ }{8}^{\prime })\cdot 5=0.8\cdot 5=4.$$

높이 h_c의 길이는 4이다.