삼각형의 넓이

삼각형의 넓이를 구하는 주요 방법은 두 가지이다. 삼각형에 부분을 덧붙여 평행사변형을 만들고 그 평행사변형의 넓이를 구하거나, 헤론의 공식을 쓰는 것이다.

평행사변형으로 만들기

먼저 직각삼각형의 넓이를 어떻게 구했는지 보자. 삼각형에 부분을 덧붙여 직사각형을 만들고, 그 직사각형의 넓이를 구한 다음 2로 나누었다. 그림으로 나타내면 다음과 같다.

그런데 직각삼각형이 아닌 삼각형은 이렇게 쉽게 직사각형으로 만들 수 없다. 하지만 평행사변형으로는 만들 수 있다. 다음 삼각형 ABC가 있다고 하자.

점 C에서 선분 AB에 평행하고 길이도 같은 선분을 긋는다. 그다음 점 A에서 선분 BC에 평행하고 길이도 같은 선분을 긋는다. 그러면 다음 평행사변형을 얻는다.

문제는 이 평행사변형의 넓이를 어떻게 구하느냐이다. 직사각형처럼 이웃한 두 변을 곱할 수는 없다. 하지만 이 평행사변형으로부터 넓이가 같은 직사각형을 쉽게 만들 수 있다. 빨간색으로 표시한 다음 두 삼각형은 넓이가 같다.

삼각형 AED를 삼각형 BFC의 자리로 옮기면 넓이가 같은 직사각형을 얻는다.

이것은 직사각형이므로 넓이는 이웃한 두 변의 길이의 곱이다. 그러면 변 AE나 BF의 길이는 얼마일까? 굵게 표시한 원래 삼각형 ABC를 잘 보면 변 AE의 길이가 꼭짓점 C에서 그은 삼각형의 높이와 같다는 것을 알 수 있다. 그러면 이 직사각형의 넓이는 다음과 같다.

$$S_{◻}=h_c\cdot \overline{AB},$$

여기서 h_c는 꼭짓점 C에서 그은 높이이다. 삼각형의 넓이는 이 넓이의 절반이다.

$$S_{\mathrm{△}}=\frac{h_c\cdot \overline{AB}}{2}.$$

최종 공식

앞 절의 공식은 물론 세 변 어느 것에 대해서도 일반화할 수 있다.

$$\begin{array}{rcl}{S}_{\mathrm{△}}& =& \frac{h_a\cdot a}{2},\\ S_{\mathrm{△}}& =& \frac{h_b\cdot b}{2},\\ S_{\mathrm{△}}& =& \frac{h_c\cdot c}{2}.\end{array}$$

여기서 h_a, h_b, h_c는 변 a, b, c에 대한 높이이다.

헤론의 공식

삼각형의 높이를 하나도 모르지만 세 변의 길이를 모두 안다면 헤론의 공식으로 넓이를 구할 수 있다. 다음이 성립한다.

$$S_{\mathrm{△}}=\sqrt{s\cdot (s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)},$$

여기서

$$s=\frac{a+b+c}{2}.$$

계산기: 삼각형의 넓이 구하기