Ketaksamaan linear

Ketaksamaan linear diselesaikan dengan operasi yang hampir sama dengan operasi bagi persamaan linear biasa. Ketaksamaan linear lazimnya berbentuk ax + b>0 (atau dengan tanda kurang daripada, lebih besar daripada atau sama dengan, dan kurang daripada atau sama dengan). Kita hanya perlu mengubah ketaksamaan kepada bentuk berikut, dan jawapannya siap: x>−b/a. Sudah tentu, kita menganggap a>0. Bagi a negatif, tanda ketaksamaan akan disongsangkan semasa pembahagian, dan kita memperoleh x<−b/a.

Ketaksamaan linear biasa

Ketaksamaan linear boleh diselesaikan dengan operasi setara ke atas ketaksamaan.

• Contoh mudah boleh kelihatan seperti ini:

  $$3x+9>3$$

  Pertama, kita pindahkan semua ungkapan tanpa anu ke sebelah kanan. Jadi, kita tambahkan nombor −9 pada ketaksamaan dan memperoleh ketaksamaan:

  $$\begin{array}{rcl}3x+9-9& >& 3-9\\ 3x& >& -6\end{array}$$

  Kemudian kita bahagikan seluruh ketaksamaan dengan tiga:

  $$\begin{array}{rcl}3x/3& >& -6/3\\ x& >& -2\end{array}$$

  Inilah penyelesaian ketaksamaan ini. Ketaksamaan ini dipenuhi oleh semua x > −2.

  Ketaksamaan ini juga boleh diselesaikan secara graf. Bagi ketaksamaan 3x + 9 > 3, kita lakarkan graf dua fungsi, iaitu sebelah kiri dan sebelah kanan ketaksamaan. Kita memperoleh fungsi f(x) = 3x + 9 dan g(x) = 3. Grafnya kelihatan seperti ini:

  

  Graf-graf ini bersilang pada satu titik x₁, dan koordinat-x bagi titik ini ialah −2. Kita juga dapat melihat bahawa bagi semua x > x₁, iaitu bagi semua x dalam selang (−2, ∞), graf merah 3x + 9 berada “di atas” graf biru 3 (“di atas” bermaksud “mempunyai koordinat-y yang lebih besar”). Hal ini sepadan dengan jawapan yang baru kita kira.

• Jika terdapat banyak tanda negatif, kadangkala berguna untuk mendarab seluruh ketaksamaan dengan negatif satu. Dalam kes ini, selain nilai-nilai dalam ketaksamaan, anda juga perlu menyongsangkan tandanya: “lebih besar daripada” menjadi “kurang daripada” dan sebaliknya:

  $$\begin{array}{rcl}-x& <& -10\text{(darab dengan }(-1)\text{)}\\ x& >& 10\end{array}$$

  Hal ini sudah tentu berlaku setiap kali anda mendarab seluruh ketaksamaan dengan sebarang nombor negatif. Satu lagi contoh ringkas:

  $$\begin{array}{rcl}-3x+8& <& 2x-7\\ -5x& <& -15\text{(darab dengan }(-\frac{1}{5})\text{)}\\ x& >& 3\end{array}$$

  Dalam langkah pertama, kita tambahkan −2x pada ketaksamaan seperti biasa, iaitu kita pindahkan semua ungkapan yang mengandungi pemboleh ubah ke sebelah kiri. Pada masa yang sama, kita tolak lapan, iaitu kita pindahkan pemalar ke sebelah kanan. Kemudian kita hanya perlu mendarab seluruh ketaksamaan dengan $-\frac{1}{5}$.

  Sebagai ilustrasi, perhatikan penyelesaian graf bagi ketaksamaan ini, dengan dua fungsi f(x) = −3x + 8 dan g(x) = 2x − 7.

  

  Graf merah bagi fungsi −3x + 8 berada di bawah graf biru bagi fungsi 2x − 7 apabila x > 3.

Pemboleh ubah dalam penyebut

Ketaksamaan linear yang mengandungi pecahan dengan pemboleh ubah dalam penyebut diselesaikan dengan cara yang sedikit lebih rumit. Contohnya, ketaksamaan:

$$\frac{2}{x}+3>4$$

Kita tidak boleh mendarab ketaksamaan dengan anu dalam penyebut kerana kita tidak tahu tandanya. Jika nilai pemboleh ubah itu negatif, kita perlu menyongsangkan tanda ketaksamaan. Oleh itu, kita tidak boleh sewenang-wenangnya mendarab ketaksamaan dengan pemboleh ubah dalam penyebut. Operasi itu bukan operasi setara ke atas ketaksamaan.

Kita mula mengubah ketaksamaan supaya terdapat satu pecahan di sebelah kiri dan sifar di sebelah kanan. Mula-mula, kita tambahkan −4 pada ketaksamaan dan memperoleh bentuk:

$$\begin{array}{r}\frac{2}{x}+3>4\\ \frac{2}{x}-1>0\end{array}$$

Sekarang kita perlu menggabungkan ungkapan di sebelah kiri menjadi satu pecahan. Kita darab nombor −1 dengan pecahan $\frac{x}{x}$ supaya kedua-dua ungkapan mempunyai penyebut sepunya, kemudian kita tambahkan pecahan-pecahan itu:

$$\begin{array}{rcl}\frac{2}{x}-1& >& 0\\ \frac{2}{x}-\frac{x}{x}& >& 0\\ \frac{2-x}{x}& >& 0\end{array}$$

Sekarang timbul persoalan: bilakah pecahan bernilai positif? Pecahan bernilai positif jika pengangka dan penyebut kedua-duanya positif, atau jika kedua-duanya negatif. Jika salah satunya positif dan yang lain negatif, pecahan itu negatif. Contohnya, pecahan $\frac{4}{3}$ mewakili nombor positif. Pecahan $\frac{-3}{4}$ mewakili nombor negatif. Pecahan $\frac{-3}{-4}$ pula mewakili nombor positif kerana tanda negatifnya saling membatalkan. Secara umum, kita boleh menulis:

$$\begin{array}{rcl}\frac{\text{positif}}{\text{positif}}& =& \text{positif}\\ \frac{\text{positif}}{\text{negatif}}& =& \text{negatif}\\ \frac{\text{negatif}}{\text{positif}}& =& \text{negatif}\\ \frac{\text{negatif}}{\text{negatif}}& =& \text{positif}\end{array}$$

Jadi, kita perlu menyelesaikan dua set ketaksamaan. Mula-mula, kita tentukan bilakah pengangka dan penyebut kedua-duanya positif:

1. Supaya pengangka dan penyebut kedua-duanya positif, kedua-dua ketaksamaan ini mesti dipenuhi serentak:

   $$2-x>0\wedge x>0$$

   Bagi ketaksamaan pertama, kita hanya memindahkan 2 ke sebelah yang satu lagi dan mendarab dengan −1:

   $$\begin{array}{rcl}2-x& >& 0\\ -x& >& -2\\ x& <& 2\end{array}$$

   Kita memperoleh penyelesaian ketaksamaan pertama. Ketaksamaan kedua, x > 0, tidak perlu diselesaikan lagi. Sekarang kita perlu mencari persilangan kedua-dua penyelesaian ini kerana kita mencari kes apabila kedua-dua penyelesaian benar serentak, iaitu apabila pengangka positif dan pada masa yang sama penyebut juga positif. Penyelesaian pertama boleh ditulis sebagai selang (−∞, 2), dan penyelesaian kedua sebagai selang (0, ∞). Sekarang kita cari persilangan selang-selang ini:

   $$(-\mathrm{\infty },2)\cap (0,\mathrm{\infty })=(0,2)$$

   Ini ialah sebahagian daripada penyelesaian ketaksamaan. Jika anda menggantikan nombor daripada selang ini, ketaksamaan itu dipenuhi. Contohnya, jika kita menggantikan x dengan x = 1, iaitu nombor daripada selang (0, 2), kita memperoleh ketaksamaan $\frac{2}{1}+3>4$, iaitu 5 > 4. Sekarang kita perlu mengkaji kes apabila pengangka dan penyebut kedua-duanya negatif.

2. Apabila pengangka dan penyebut kedua-duanya negatif, kita menyelesaikan ketaksamaan:

   $$2-x<0\wedge x<0$$

   Sekali lagi, kita selesaikan ketaksamaan 2 − x < 0 dengan cepat:

   $$\begin{array}{rcl}2-x& <& 0\\ -x& <& -2\\ x& >& 2\end{array}$$

   Penyelesaian kedua sekali lagi hanyalah x < 0. Kita tulis dalam bentuk selang, (2, ∞) dan (−∞, 0), dan cari persilangannya:

   $$(2,\mathrm{\infty })\cap (-\mathrm{\infty },0)=\mathrm{\varnothing }$$

   Kita memperoleh set kosong. Apakah maksudnya? Pecahan $\frac{2-x}{x}$ tidak mungkin mempunyai pengangka negatif dan penyebut negatif pada masa yang sama.

Kita hanya perlu mencari kesatuan kedua-dua hasil tadi untuk memperoleh set penyelesaian S:

$$S=(0,2)\cup \mathrm{\varnothing }=(0,2)$$

Ketaksamaan $\frac{2}{x}+3>4$ dipenuhi oleh semua x dalam selang (0, 2). Kita boleh melakar graf yang menunjukkan fungsi $f(x)=\frac{2}{x}+3$ dan g(x) = 4:

Graf merah bagi fungsi $f(x)=\frac{2}{x}+3$ berada di atas graf biru bagi fungsi g(x) = 4 tepat dalam selang (0, 2).

Ketaksamaan linear dengan nilai mutlak

Ketaksamaan yang mengandungi nilai mutlak sedikit lebih mencabar. Anda perlu mengira secara berasingan bilakah ungkapan dalam nilai mutlak positif, iaitu tandanya tidak berubah, dan bilakah ungkapan itu negatif, iaitu tandanya berubah. Pada dasarnya, terdapat dua ketaksamaan dalam satu. Contoh mudah:

$$|x+5|<12$$

Pertama sekali, kita perlu menentukan titik genting, iaitu nombor yang menjadikan seluruh ungkapan dalam nilai mutlak sifar apabila digantikan. Titik ini digunakan untuk menentukan selang tempat tanda berubah dan selang tempat tanda tidak berubah. Jadi, kita selesaikan persamaan ini dahulu:

$$x+5=0$$

Penyelesaiannya ialah x = −5. Nilai ini membahagikan nilai x kepada dua selang: satu selang tempat fungsi x + 5 mengambil nilai positif dan satu lagi tempat fungsi itu mengambil nilai negatif. Dalam selang (−∞, −5) kita memperoleh nombor negatif, dan dalam selang [−5, ∞) kita memperoleh nombor positif, atau lebih tepat, nombor bukan negatif. Sebagai contoh, baris pertama menggunakan nombor daripada selang pertama dan baris kedua daripada selang kedua:

$$\begin{array}{rcl}-8+5& =& -3\\ 13+5& =& 18\end{array}$$

Apakah maksudnya? Jika kita menggantikan x dengan nilai yang lebih besar daripada negatif lima, nilai mutlak tidak mengubah hasilnya kerana x + 5 ialah nombor positif. Sebaliknya, jika nilai x kurang daripada negatif lima, hasil x + 5 negatif, dan nilai mutlak menukarnya menjadi positif. Oleh itu, kita perlu membezakan kedua-dua kes ini dalam ketaksamaan.

Mula-mula, kita kira penyelesaian apabila x diambil daripada selang [−5, ∞). Dalam kes ini tanda tidak berubah, jadi kita hanya membuang nilai mutlak.

$$\begin{array}{rcl}x+5& <& 12\\ x& <& 7\\ x& \in & (-\mathrm{\infty },7)\end{array}$$

Kita hampir memperoleh penyelesaian pertama. Kita masih perlu mencari persilangannya dengan selang tempat kita sedang memilih x. Kita berada dalam selang [−5, ∞), jadi penyelesaian ketaksamaan linear ini tidak boleh, misalnya, x = −15 kerana nilai itu tidak terletak dalam selang kita. Jadi, kita cari persilangannya:

$$[-5,\mathrm{\infty })\cap (-\mathrm{\infty },7)=[-5,7)$$

Inilah hasil pertama. Sekarang kita perlu mengira penyelesaian apabila x diambil daripada selang (−∞, −5). Dalam selang ini, nilai mutlak mengubah tanda. Jika kita mahu membuang nilai mutlak daripada ketaksamaan, kita sendiri mesti mengubah tanda itu, iaitu kita darab ungkapan di dalam nilai mutlak dengan nombor −1. Jadi, kita tulis semula seperti berikut:

$$\begin{array}{rcl}|x+5|& <& 12\\ -(x+5)& <& 12\\ -x-5& <& 12\end{array}$$

Kita tambahkan 5 pada ketaksamaan:

$$-x<17$$

Kemudian kita darab dengan −1:

$$x>-17$$

Kita memperoleh penyelesaian:

$$x\in (-17,\mathrm{\infty })$$

Tetapi seperti tadi, kita memilih nilai x daripada selang (−∞, −5), jadi kita masih perlu mencari persilangan selang ini dengan penyelesaian kita:

$$(-17,\mathrm{\infty })\cap (-\mathrm{\infty },-5)=(-17,-5)$$

Sekarang kita mempunyai kedua-dua hasil, dan kita hanya perlu mencari kesatuannya:

$$x\in [-5,7)\cup (-17,-5)=(-17,7)$$

Sebagai semakan, kita boleh melihat graf fungsi-fungsi ini:

Sedikit lagi tentang bila menggunakan selang tertutup dan bila menggunakan selang terbuka. Jika ketaksamaan itu tegas, misalnya x>0, kita gunakan selang terbuka kerana x tidak boleh sama dengan sifar. Jika ketaksamaan itu tidak tegas, misalnya x ≥ 0, kita gunakan selang tertutup kerana x boleh sama dengan sifar. Contohnya, jika anda menggantikan x = 7 ke dalam ketaksamaan yang baru kita selesaikan, iaitu nilai yang “hampir-hampir” termasuk dalam penyelesaian tetapi tidak, anda memperoleh:

$$\begin{array}{rcl}|x+5|& <& 12\\ (7+5)& <& 12\\ 12& <& 12\end{array}$$

Ketaksamaan ini tidak benar kerana 12 tidak kurang daripada 12.