각뿔의 겉넓이

각뿔은 피라미드처럼 생긴 입체도형이다. 바닥에 놓이는 밑면이 있고, 그 위에 삼각형 모양의 옆면이 여러 개 있다. 밑면은 다각형이다. 각뿔이 어떻게 생겼는지 살펴보자.

정사각뿔

그림의 각뿔은 정사각뿔이다. 밑면이 정다각형이므로 “정”, 밑면이 사각형이므로 “사각뿔”이라고 한다. 이 경우 밑면은 정사각형이다(정사각형으로 보이도록 눈을 살짝 가늘게 떠 보자 😆). 따라서 이 각뿔에는 삼각형 모양의 옆면이 네 개 있다. 각뿔의 겉넓이는 밑넓이와 옆넓이를 구해 더한다. 먼저 밑넓이부터 구해 보자.

앞에서 밑면이 정다각형인 사각형, 즉 정사각형이라고 했으므로 정사각형의 넓이 공식을 쓴다.

$$S_{◻}=a^2$$

여기까지는 쉽다. 이제 더 까다로운 부분인 삼각형 모양 옆면의 넓이를 구할 차례이다. 면 ABF의 넓이를 구해 보자.

면 ABF는 삼각형인데, 그냥 삼각형이 아니라 이등변삼각형이다.

이등변삼각형의 넓이를 구하려면 삼각형의 높이를 알아야 한다. 이등변삼각형의 높이 h를 알면 넓이는 다음과 같다.

$$S_{\mathrm{△}}=\frac{a\cdot h}{2}$$

이것이 정사각뿔의 옆면 하나의 넓이이다. 네 옆면의 넓이를 모두 더하면 다음과 같다.

$$S_{4\mathrm{△}}=4\cdot \frac{a\cdot h}{2}=2\cdot a\cdot h$$

이제 각뿔 전체의 겉넓이를 구할 수 있다. 밑넓이와 옆넓이를 더한다.

$$S=S_{◻}+S_{4\mathrm{△}}=a^2+2\cdot a\cdot h$$

정n각뿔의 겉넓이

물론 각뿔이 사각뿔만 있는 것은 아니다. 예를 들어 육각뿔일 수도 있다.

이런 각뿔의 겉넓이는 어떻게 구할까? 옆면 하나의 넓이는 여전히 다음과 같다.

$$S_{\mathrm{△}}=\frac{a\cdot h}{2}$$

하지만 옆면이 네 개가 아니라 여섯 개이므로 이 넓이에 6을 곱한다. 정n각뿔이라면 n을 곱한다.

$$S_{n\mathrm{△}}=n\cdot \frac{a\cdot h}{2}$$

밑넓이는 정n각형의 넓이 공식으로 구한다.

$$S_{n\diamond }=n\cdot \frac{a\cdot r}{2}$$

여기서 a는 밑면 모서리의 길이이고 r은 정다각형의 중심에서 변까지의 거리이다. 전체 공식은 다음과 같다.

$$S=n\cdot \frac{a\cdot h}{2}+n\cdot \frac{a\cdot r}{2}$$

이 식은 다음과 같이 간단히 할 수 있다.

$$S=n\cdot \left(\frac{a\cdot h+a\cdot r}{2}\right)$$

더 정리하면 다음과 같다.

$$S=n\cdot a\cdot \frac{h+r}{2}$$