Persamaan linear dengan parameter

Persamaan linear boleh mengandungi parameter yang lazimnya ditandakan dengan p. Matlamat kita ialah menganalisis penyelesaian persamaan linear itu bergantung pada parameter p.

Motivasi

Cuba selesaikan masalah berikut: anda telah menulis sebuah novel berjudul “Pengembaraan di Hutan Larangan” dan mahu mencetaknya sebagai buku untuk dihadiahkan kepada kenalan. Anda mempunyai RM1 000. Harga cetakannya seperti berikut: bayaran asas ialah RM10 bagi setiap buku, ditambah 10 sen bagi setiap halaman. Novel anda mempunyai 300 halaman. Berapakah bilangan buku yang mampu anda cetak?

Ini ialah soalan persamaan linear yang mudah. Kita bina persamaan seperti berikut: anu x mewakili bilangan buku yang mampu kita cetak. Kita memperoleh persamaan (10 + 300 · 0.1)x = 1 000. Ungkapan dalam kurungan ialah harga sebuah buku (10 ialah bayaran asas, manakala 300 · 0.1 ialah harga semua halaman). Kita selesaikan persamaan ini:

$$\begin{array}{rcl}(10+300\cdot 0.1)x& =& 1000\\ 40x& =& 1000\\ x& =& \frac{1000}{40}\\ x& =& 25\end{array}$$

Kita mampu mencetak 25 buah buku. Namun, harga setiap halaman terlalu mahal, jadi kita turunkan kepada 0.08 ringgit. Berapakah bilangan buku yang kita peroleh sekarang? Kita bina semula persamaan: (10 + 300 · 0.08)x = 1 000 dan selesaikannya:

$$\begin{array}{rcl}(10+300\cdot 0.08)x& =& 1000\\ (10+24)x& =& 1000\\ 34x& =& 1000\\ x& =& \frac{1000}{34}\\ x& \approx & 29\end{array}$$

Kita mampu mencetak 29 buah buku. Sebenarnya, dengan bilangan halaman yang agak banyak, mungkin kita boleh meminta sedikit diskaun bagi setiap halaman, bukan? Mungkin hanya 6 sen, iaitu 0.06 ringgit? Boleh juga. Kita kira lagi bilangan buku yang kita peroleh.

Anda tentu dapat meneka bahawa kita boleh terus mengubah harga ini tanpa henti. Bagaimanakah kita menyelesaikannya dengan cara yang lebih elegan? Kita gunakan parameter, iaitu satu lagi huruf yang mewakili harga bagi satu halaman buku kita. Kita tandakan parameter ini dengan huruf p. Untuk mengehadkannya, katakan harga setiap halaman berada dalam selang (0; 0.1] ringgit. Harga itu tidak sifar kerana tiada sesiapa yang akan mencetaknya secara percuma, dan tiada pencetak yang mengenakan lebih daripada 10 sen sehalaman. Bagaimanakah rupa persamaannya sekarang?

$$(10+300p)x=1000$$

Persamaan ini sesuai dengan gambaran harga kita: RM10 ialah bayaran asas yang tidak berubah, dan harga bagi 300 halaman dikira dengan mendarab harga sehalaman, iaitu parameter p, dengan tiga ratus. Apakah penyelesaian persamaan ini? Kita perlu mengungkapkan x:

$$\begin{array}{r}(10+300p)x=1000\\ x=\frac{1000}{10+300p}\end{array}$$

Itu sahaja. Sekarang kita hanya perlu mengetahui harga sehalaman untuk mengira bilangan buku yang kita peroleh. Jika harga sehalaman ialah dua sen, selepas menggantikan nilai p kita memperoleh:

$$x=\frac{1000}{10+300\cdot 0.02}=\frac{1000}{10+6}=\frac{1000}{16}\approx 62$$

Kita mampu mencetak 62 buah buku. Itu sudah agak memuaskan.

Persamaan umum dengan parameter

Bagi persamaan umum dengan parameter, kita cuba menentukan penyelesaian persamaan bergantung pada nilai parameter. Contoh persamaan seperti ini ialah:

$$(2p+2)x-6=0$$

Pertama, kita tentukan bilakah anu x hilang daripada persamaan ini. Hal ini berlaku apabila pekali di hadapan anu sama dengan sifar, iaitu apabila 2p + 2 = 0. Kita selesaikan persamaan ini dan memperoleh:

$$\begin{array}{rcl}2p+2& =& 0\\ 2p& =& -2\\ p& =& -1\end{array}$$

Jika parameter p sama dengan negatif satu, anu x hilang daripada persamaan dan kita memperoleh persamaan −6 = 0. Persamaan ini tiada penyelesaian.

Sekarang kita kira penyelesaian bagi kes p ≠ − 1. Penyelesaiannya dikira seperti biasa, cuma kita tidak memperoleh penyelesaian “akhir”, tetapi penyelesaian yang bergantung pada parameter p. Kita ungkapkan x:

$$\begin{array}{rcl}(2p+2)x-6& =& 0\text{(tambah 6)}\\ (2p+2)x& =& 6\text{(bahagi dengan }(2p+2)\text{)}\\ x& =& \frac{6}{2p+2}\\ x& =& \frac{3}{p+1}\end{array}$$

Inilah jawapan akhir. Jika p ≠ − 1, punca persamaan ini ialah pecahan 3/(p + 1).