Persamaan binomial

Persamaan binomial ialah persamaan algebra yang hanya mengandungi dua sebutan, iaitu sebutan dengan anu kuasa n dan sebutan pemalar.

Takrif

Bentuk am persamaan binomial adalah seperti berikut:

$$a{x}^n+b=0,$$

dengan a, b ialah sebarang nombor nyata atau nombor kompleks. Kita juga menganggap a, b ≠ 0 dan n ialah nombor asli.

Kes khas persamaan binomial:

• n = 1: Persamaan ini berbentuk ax + b = 0, iaitu persamaan linear.
• n = 2: Persamaan ini berbentuk ax² + b = 0, iaitu persamaan kuadratik.

Setiap persamaan binomial boleh diubah kepada bentuk dengan pekali 1 bagi sebutan berkuasa n dengan membahagi persamaan itu dengan nombor a. Persamaannya menjadi:

$$x^n+\frac{b}{a}=0$$

Kita juga boleh membuat penggantian dan menulis c sebagai ganti pecahan b/a. Jadi, jika c = b/a, persamaan ini berbentuk:

$$x^n+c=0$$

Cara menyelesaikan persamaan binomial

Mula-mula, kita ubah persamaan kepada bentuk dengan pekali 1, kemudian kita pindahkan c ke sebelah kanan dan memperoleh persamaan dalam bentuk

$$x^n=-c$$

Seterusnya, kita cari punca kuasa ke-n bagi kedua-dua belah persamaan.

$$x=\sqrt[n]{-c}$$

Persamaan ini diselesaikan menggunakan rumus punca kuasa bagi nombor kompleks. Rumusnya ialah:

$$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{|z|}[\mathrm{kos}(\frac{\alpha }{n}+\frac{2k\pi }{n})+i\sin (\frac{\alpha }{n}+\frac{2k\pi }{n})]$$

dengan

$$z=|z|(\mathrm{kos}\alpha +i\sin \alpha )$$

dan seluruh rumus ini benar bagi k = 0, 1, …, n − 1.

Contoh: hitung punca-punca persamaan x³ − 4 = 0. Selepas mengubah persamaan kepada bentuk dengan pekali 1 dan mencari punca kuasa, persamaannya menjadi:

$$x=\sqrt[3]{4}$$

Oleh sebab nombor −c = 4 tiada bahagian khayal, sudut α sama dengan sifar dan boleh dibuang daripada rumus. Punca ke-k bagi persamaan ini berbentuk:

$$x_k=\sqrt[3]{4}[\mathrm{kos}\left(\frac{2k\pi }{3}\right)+i\sin \left(\frac{2k\pi }{3}\right)]$$

Sekarang kita perlu menggunakan rumus ini bagi k = 0, 1, 2. Bagi k = 0 kita memperoleh:

$$x_0=\sqrt[3]{4}(\mathrm{kos}0+i\sin 0)=\sqrt[3]{4}$$

Bagi k = 1:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \sqrt[3]{4}(\mathrm{kos}\frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3})\\ & =& \sqrt[3]{4}(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})\\ & =& \frac{1}{2}\sqrt[3]{4}(-1+i\sqrt{3})\end{array}$$

Bagi k = 2:

$$\begin{array}{rcl}{x}_2& =& \sqrt[3]{4}(\mathrm{kos}\frac{4\pi }{3}+i\sin \frac{4\pi }{3})\\ & =& \sqrt[3]{4}(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})\\ & =& -\frac{1}{2}\sqrt[3]{4}(1+i\sqrt{3})\end{array}$$

Itu sahaja. Kita memperoleh tiga punca, iaitu x₀, x₁ dan x₂.