Ketaksamaan kuadratik

Ketaksamaan kuadratik boleh ditulis dalam bentuk am seperti ini: ax² + bx + c > 0 atau ax² + bx + c < 0, dengan a, b, c ialah sebarang nombor nyata dan a ≠ 0. Sudah tentu, sebagai ganti “lebih besar daripada” dan “kurang daripada”, kita juga boleh menggunakan “lebih besar daripada atau sama dengan” dan “kurang daripada atau sama dengan”.

Pekali a positif

Ketaksamaan seperti ini diselesaikan dengan cara yang hampir sama dengan persamaan kuadratik biasa: mula-mula kita kira pembeza layan, dan daripada hasilnya kita tentukan langkah seterusnya. Jika pembeza layan positif, persamaan yang berkaitan mempunyai dua punca nyata. Punca persamaan ialah titik pada paksi-x tempat graf fungsi ax² + bx + c menyilang paksi-x. Dua titik persilangan ini membahagikan paksi-x kepada tiga selang.

Mari kita cuba menyelesaikan ketaksamaan 2x² − 7x + 3 < 0. Kita lakarkan graf fungsi 2x² − 7x + 3, yang kelihatan seperti ini:

Graf ini menyilang paksi-x pada dua titik: $x_1=\frac{1}{2}$ dan x₂ = 3. Jika kita menyelesaikan persamaan kuadratik biasa, kita akan memperoleh penyelesaian yang sama kerana pembeza layan persamaan ini ialah

$$D=b^2-4ac=(-7{)}^2-4\cdot 2\cdot 3=49-24=25$$

Punca-puncanya kemudian dikira seperti berikut:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{7-5}{4}=\frac{1}{2}\\ x_2& =& \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{7+5}{4}=3\end{array}$$

Kedua-dua punca ini membahagikan graf fungsi 2x² − 7x + 3 kepada tiga selang.

• $(-\mathrm{\infty },\frac{1}{2})$: dalam selang ini nilainya positif (graf berada “di atas” paksi-x, bahagian biru graf)
• $(\frac{1}{2},3)$: dalam selang ini nilainya negatif (graf berada “di bawah” paksi-x, bahagian merah graf)
• (3, ∞): dalam selang ini nilainya positif semula, iaitu baki bahagian biru graf.

Perhatikan bahawa dalam selang ini kita menggunakan kurungan bulat yang menandakan selang terbuka. Maksudnya, nombor 3 dan $\frac{1}{2}$ tidak termasuk dalam selang $(\frac{1}{2},3)$. Hal ini kerana pada titik x = 3 nilai fungsi ialah sifar, sedangkan kita mahu menyenaraikan selang tempat nilainya kurang daripada sifar.

Sekarang kita mempunyai semua maklumat yang diperlukan untuk menentukan penyelesaian ketaksamaan 2x² − 7x + 3 < 0. Bilakah nilai fungsi 2x² − 7x + 3 kurang daripada sifar? Nilainya kurang daripada sifar dalam selang $(\frac{1}{2},3)$, iaitu bahagian merah graf.

Kita juga boleh cuba menyelesaikan ketaksamaan berikut:

• 2x² − 7x + 3 ≤ 0: ketaksamaan ini berbeza daripada yang sebelumnya kerana tandanya ≤, bukan <. Penyelesaiannya sama seperti dalam kes sebelumnya, cuma kita menggunakan selang tertutup sebagai ganti selang terbuka. Jadi, penyelesaiannya ialah selang $[\frac{1}{2},3]$, kerana pada titik $\frac{1}{2}$ dan 3 fungsi 2x² − 7x + 3 bernilai sifar, dan kini kita mencari bilakah fungsi ini kurang daripada atau sama dengan sifar. Jangan lupa bahawa tanda dalam ketaksamaan ini ialah ≤.

• 2x² − 7x +3 > 0: penyelesaiannya ialah “bahagian biru” graf fungsi. Selang-selang yang diperoleh perlu digabungkan dengan operasi kesatuan kerana fungsi ini positif dalam selang $(-\mathrm{\infty },\frac{1}{2})$ dan juga dalam selang (3, ∞). Set penyelesaiannya ialah $(-\mathrm{\infty },\frac{1}{2})\cup (3,\mathrm{\infty })$.

• 2x² − 7x +3 ≥ 0: sekali lagi, kita hanya menukar > kepada ≥. Penyelesaiannya ialah set yang sama, cuma kita masukkan unsur $\frac{1}{2}$ dan 3 ke dalamnya dengan menggunakan selang tertutup di hujung tersebut: $(-\mathrm{\infty },\frac{1}{2}]\cup [3,\mathrm{\infty })$.

Pekali a negatif

Apakah yang akan berlaku jika kita menukar ketaksamaan tadi kepada −x² + x + 2 < 0? Perubahan utama berlaku pada pekali a, yang kini sama dengan a = −1. Dalam ketaksamaan sebelumnya, kita mempunyai 2x², iaitu pekali x² positif, manakala di sini pekali itu negatif. Lebih baik kita lihat grafnya:

Perubahan utama pada graf ialah graf itu tidak lagi berbentuk huruf “U”, sebaliknya berbentuk bukit (∩). Namun, langkah penyelesaiannya tidak berubah. Sekali lagi kita memperoleh tiga selang:

• (−∞, −1): nilainya negatif.
• (−1, 2): nilainya positif.
• (2, ∞): nilainya negatif.

Jadi, penyelesaian ketaksamaan −x² + x + 2 < 0 ialah kesatuan selang (−∞, −1) ∪ (2, ∞).

Tetapi saya tidak mahu asyik melakar graf!

Tidak perlu! Semua penyelesaian tadi bergantung pada graf yang kita lakar: daripadanya kita membaca titik persilangan dengan paksi-x dan juga sama ada nilainya positif atau negatif dalam setiap selang. Namun, ada cara lain.

Jika kita mempunyai ketaksamaan kuadratik 3x² − 4x + 1 < 0, kita hanya perlu menyelesaikan persamaan kuadratik 3x² − 4x + 1 = 0 dengan cara biasa. Kita kira pembeza layan:

$$D=b^2-4ac=(-4{)}^2-4\cdot 3\cdot 1=4$$

Seterusnya, kita kira punca-punca persamaan kuadratik:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{4-2}{6}=\frac{1}{3}\\ x_2& =& \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{4+2}{6}=1\end{array}$$

Kita tahu bahawa graf menyilang paksi-x pada titik $x_1=\frac{1}{3}$ dan x₂ = 1. Kita memperoleh tiga selang: $(-\mathrm{\infty },\frac{1}{3})$, $(\frac{1}{3},1)$, (1, ∞). Persoalannya ialah bagaimana menentukan sama ada fungsi f(x) = 3x² − 4x + 1 mempunyai nilai positif atau negatif dalam setiap selang.

Caranya ialah menggantikan sebarang nombor daripada selang itu ke dalam fungsi f(x) = 3x² − 4x + 1. Jika nilai fungsi positif, fungsi itu positif di seluruh selang. Begitu juga bagi nilai negatif.

• Kita pilih sebarang nombor daripada selang $(-\mathrm{\infty },\frac{1}{3})$, misalnya sifar kerana mudah dikira. Kita gantikan sifar ke dalam fungsi f: f(0) = 3 · 0² − 4 · 0 + 1 = 1. Nombor 1 positif, jadi dalam selang ini nilainya positif.

• Kita pilih nombor daripada selang $(\frac{1}{3},1)$; pilihan terbaik mungkin setengah:

  $$f(\frac{1}{2})=3\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2-4\cdot \frac{1}{2}+1=3\cdot \frac{1}{4}-2+1=-\frac{1}{4}$$

  Nombor $-\frac{1}{4}$ negatif, jadi semua nilai dalam selang ini negatif.

• Dalam selang terakhir, nilainya sama seperti dalam selang pertama, iaitu positif. Tandanya sentiasa berselang-seli: positif, negatif, positif atau negatif, positif, negatif. Namun, kita boleh juga mengiranya. Kita pilih nombor daripada selang (1, ∞), misalnya 10:

  $$f(10)=3\cdot {10}^2-4\cdot 10+1=300-40+1=261$$

  Nombor ini positif, jadi semua nilai dalam selang ini positif.

Tinggal menyelesaikan ketaksamaan itu sepenuhnya. Ketaksamaannya ialah 3x² − 4x + 1 < 0. Berdasarkan maklumat di atas, kita tahu bahawa fungsi 3x² − 4x + 1 mempunyai nilai negatif dalam selang $(\frac{1}{3},1)$. Sebagai semakan, kita boleh melihat grafnya:

Pembeza layan sifar

Semasa menyelesaikan persamaan kuadratik, kita mungkin memperoleh pembeza layan sifar. Hal ini berlaku apabila graf fungsi menyentuh paksi-x pada satu titik. Mari kita lihat ketaksamaan 3x² + 6x + 3 ≥ 0. Pembeza layannya sama dengan sifar:

$$D=b^2-4ac=6^2-4\cdot 3\cdot 3=36-36=0$$

Grafnya kelihatan seperti ini:

Seperti yang dapat dilihat, graf menyentuh paksi-x hanya pada satu titik, x₁ = −1, dan selebihnya berada di atas paksi-x dengan nilai positif. Maksudnya, penyelesaian ketaksamaan 3x² + 6x + 3 ≥ 0 ialah seluruh set nombor nyata, kerana apa-apa nombor nyata yang digantikan untuk x, nilainya sentiasa lebih besar daripada atau sama dengan sifar.

Pembeza layan negatif

Jika pembeza layan negatif, graf tidak pernah menyilang paksi-x. Apakah kesannya terhadap ketaksamaan kita? Graf itu berada sepenuhnya di atas paksi-x atau sepenuhnya di bawah paksi-x. Jika kita mengubah ketaksamaan tadi kepada 3x² + 6x + 4 > 0 (kita menukar tanda ≥ kepada > dan nombor tiga kepada empat), pembeza layannya ialah:

$$D=6^2-4\cdot 3\cdot 4=-12$$

dan grafnya kelihatan seperti ini:

Graf ini berada sepenuhnya di atas paksi-x. Apa-apa nombor nyata yang digantikan untuk x, nilainya sentiasa positif. Jadi, penyelesaian ketaksamaan ini sekali lagi ialah set nombor nyata.