Persamaan logaritma

Persamaan logaritma ialah persamaan yang anunya biasanya tersembunyi di dalam logaritma. Persamaan yang paling mudah kelihatan seperti ini:

$${\log }_{2}x=3$$

Logaritma ialah indeks yang perlu dikenakan pada asas untuk memperoleh nombor di dalam logaritma. Jadi, persamaan ini bertanya: dua perlu dinaikkan kepada kuasa berapa untuk memperoleh x? Kuasa tiga. Oleh itu,

$$x=2^3=8.$$

Graf juga menunjukkan perkara yang sama. Kita mencari tempat graf fungsi y = log₂ x menyilang garis mengufuk y = 3:

Fungsi log₂ x ialah fungsi menokok, jadi graf ini menyilang garis itu hanya sekali, dan persamaan ini mempunyai satu penyelesaian sahaja. Inilah seluruh rahsia persamaan logaritma: kita cuba mengubah segala-galanya kepada bentuk dengan satu logaritma di satu belah dan nombor atau satu logaritma juga di belah yang lain. Helah ini serupa dengan persamaan eksponen, apabila kita mencari asas yang sama.

Syarat

Logaritma hanya tertakrif bagi nombor positif. Berapakah log₂(−4)? Dua perlu dinaikkan kepada kuasa berapa untuk memperoleh −4? Tiada, kerana kuasa bagi dua sentiasa positif. Oleh itu, nombor di dalam setiap logaritma dalam persamaan mesti positif.

Namun, operasi yang kita lakukan ke atas logaritma tidak semestinya setara, dan syarat ini boleh hilang tanpa disedari. Kemudian kita mungkin memperoleh punca yang langsung tidak bermakna bagi persamaan asal. Kesilapan tipikal: menyelesaikan persamaan secara mekanikal, menyalin semua punca, dan tidak menyemak sama ada punca itu boleh digantikan ke dalam logaritma.

Terdapat dua cara untuk mengelakkan kesilapan ini:

• pada awal penyelesaian, tentukan syarat, iaitu domain persamaan, dan pada akhirnya buang punca yang tidak termasuk dalam domain itu,
• atau pada akhir penyelesaian, buat semakan dengan menggantikan setiap punca ke dalam persamaan asal.

Semakan lebih selamat kerana ia juga mendedahkan kesilapan pengiraan biasa. Bagi persamaan logaritma, semakan biasanya ringkas, jadi berbaloi dilakukan setiap kali.

Menghapuskan logaritma

Jika persamaan dapat diubah kepada bentuk

$${\log }_{a}f(x)={\log }_{a}g(x),$$

dengan logaritma berasas sama di kedua-dua belah, kita boleh “memotong” logaritma itu dan menyelesaikan persamaan

$$f(x)=g(x).$$

Hal ini dibenarkan kerana logaritma menokok bagi asas yang lebih besar daripada satu dan menyusut bagi asas yang lebih kecil, jadi logaritma memberikan nilai yang sama hanya bagi nombor yang sama. Langkah ini dipanggil menghapuskan logaritma. Tetapi berhati-hati: kita hanya boleh memotong logaritma apabila setiap belah mengandungi satu logaritma sahaja dan tiada yang lain. Daripada persamaan log x + log 3 = log 12, kita tidak memperoleh x + 3 = 12 dengan memotong logaritma. Sebelah kiri perlu digabungkan terlebih dahulu menjadi satu logaritma, seperti yang akan ditunjukkan dalam bahagian seterusnya, barulah kita memperoleh x = 4.

Sekarang kita cuba dengan contoh:

$$\log (2x+3)=\log (x+7)$$

Ingat bahawa log tanpa asas bermaksud logaritma biasa, iaitu logaritma asas sepuluh. Asasnya sama di kedua-dua belah, jadi kita hapuskan logaritma, dan yang tinggal ialah persamaan linear biasa:

$$\begin{array}{rcl}2x+3& =& x+7\text{(tolak }x\text{)}\\ x+3& =& 7\text{(tolak 3)}\\ x& =& 4\end{array}$$

Semakan: di sebelah kiri kita memperoleh log(2 · 4 + 3) = log 11, dan di sebelah kanan log(4 + 7) = log 11. Betul, dan kedua-dua nombor di dalam logaritma positif, jadi penyelesaiannya ialah x = 4.

Hukum logaritma

Sering kali terdapat lebih daripada satu logaritma di satu belah. Dalam kes ini, kita perlu menggabungkannya menjadi satu menggunakan hukum logaritma. Perhatikan persamaan

$${\log }_{2}x+{\log }_2(x-2)=3.$$

Mula-mula, syaratnya. Mesti berlaku x>0 dan juga x − 2>0, iaitu secara keseluruhan x>2.

Hasil tambah logaritma berasas sama ialah logaritma bagi hasil darab, log_a u + log_a v = log_a(u · v), jika u dan v kedua-duanya positif. Jadi, kita gabungkan sebelah kiri:

$${\log }_2(x(x-2))=3$$

Sekarang kita kembali ke titik permulaan: satu logaritma di sebelah kiri dan nombor di sebelah kanan, jadi kita hanya perlu menggunakan takrif:

$$x(x-2)=2^3$$

Kita kembangkan kurungan dan pindahkan lapan ke sebelah kiri:

$$x^2-2x-8=0$$

Ini ialah persamaan kuadratik. Kita faktorkan sebelah kiri menjadi (x − 4)(x + 2) = 0, dan kita memperoleh dua punca:

$$x_1=4,x_2=-2$$

Awas, perangkap! Nombor −2 tidak memenuhi syarat x>2, dan nombor ini tidak boleh digantikan ke dalam persamaan asal kerana log₂(−2) tidak wujud. Dari manakah punca ini datang? Daripada penggabungan logaritma. Ungkapan x(x − 2) bernilai lapan bagi x = −2, iaitu positif, jadi persamaan yang telah diubah tiada masalah dengan nilai ini. Tetapi persamaan asal bermasalah. Dengan menggabungkan logaritma, kita telah meluaskan persamaan kepada nombor-nombor yang tidak bermakna bagi persamaan asal.

Semakan bagi x = 4: log₂ 4 + log₂ 2 = 2 + 1 = 3. Betul, jadi persamaan ini mempunyai satu penyelesaian sahaja, iaitu x = 4.

Penggantian

Kadangkala persamaan mengandungi kuasa dua bagi logaritma:

$${\log }^{2}x-3\log x+2=0$$

Tatatanda log² x bermaksud (log x)², iaitu logaritma dahulu, kemudian kuasa dua, bukan log(x²). Syaratnya hanya x>0.

Pada pandangan pertama, persamaan ini kelihatan menakutkan, tetapi apabila diteliti, persamaan ini sebenarnya persamaan kuadratik yang menyamar. Kita gunakan penggantian a = log x:

$$a^2-3a+2=0$$

Kita faktorkan menjadi (a − 1)(a − 2) = 0, jadi a = 1 atau a = 2. Kita belum selesai kerana kita mencari x, bukan a. Jadi, kita gantikan semula:

$$\log x=1\Rightarrow x={10}^1=10$$

$$\log x=2\Rightarrow x={10}^2=100$$

Kedua-dua punca positif, jadi kedua-duanya memenuhi syarat. Semakan bagi x = 100: log 100 = 2, jadi 2² − 3 · 2 + 2 = 4 − 6 + 2 = 0. Bagi x = 10 kita memperoleh 1 − 3 + 2 = 0. Persamaan ini mempunyai dua penyelesaian, iaitu x = 10 dan x = 100.