Ketaksamaan bentuk hasil darab dan bentuk pecahan

Hasil darab beberapa nombor bernilai positif jika tiada faktor yang sifar dan bilangan faktor negatif ialah nombor genap. Negatif darab negatif ialah positif, jadi faktor-faktor negatif saling membatalkan secara berpasangan. Jika bilangannya ganjil, seluruh hasil darab menjadi negatif. Idea mudah inilah asas penyelesaian semua ketaksamaan yang mempunyai hasil darab atau hasil bahagi di satu belah dan sifar di belah yang lain.

Jika anda telah membaca artikel tentang ketaksamaan kuadratik, anda sudah tahu cara menyelesaikan ketaksamaan (x − 1)(x + 3) > 0: cari punca 1 dan −3, kemudian lihat di mana ungkapan itu positif. Sekarang anda akan melihat bahawa kaedah yang sama boleh digunakan untuk sebarang bilangan faktor, bukan hanya dua.

Kaedah titik genting

Kita mulakan dengan ketaksamaan ini:

$$(x+2)(x-1)(x-3)>0.$$

Kita tidak akan mengembangkan kurungan kerana kita akan memperoleh polinomial kubik yang jauh lebih sukar diuruskan. Sebaliknya, bentuk hasil darab ialah bentuk yang paling memudahkan kita.

Mula-mula, kita cari titik genting, iaitu nombor yang menjadikan salah satu faktor sama dengan sifar. Kita samakan setiap kurungan dengan sifar secara berasingan:

$$\begin{array}{rcl}x+2& =& 0\Rightarrow x=-2\\ x-1& =& 0\Rightarrow x=1\\ x-3& =& 0\Rightarrow x=3\end{array}$$

Titik-titik genting ini membahagikan garis nombor kepada empat selang: (−∞, −2), (−2, 1), (1, 3) dan (3, ∞). Di dalam setiap selang, tiada kurungan yang melintasi sifar, jadi tiada kurungan yang bertukar tanda. Oleh itu, cukup pilih satu nombor daripada setiap selang dan tentukan tanda setiap kurungan.

• Daripada selang (−∞, −2), kita cuba misalnya x = −3. Ketiga-tiga kurungan negatif: (−1) · (−4) · (−6). Tiga faktor negatif ialah bilangan ganjil, jadi hasil darabnya negatif.
• Daripada selang (−2, 1), kita gantikan sifar: 2 · (−1) · (−3). Dua faktor negatif, jadi hasil darabnya positif.
• Daripada selang (1, 3), kita gunakan dua: 4 · 1 · (−1). Satu faktor negatif, jadi hasil darabnya negatif.
• Daripada selang (3, ∞), kita cuba sepuluh: semua kurungan positif, jadi hasil darabnya juga positif.

Jadual tanda menunjukkan hal ini dengan jelas. Setiap baris mewakili satu kurungan, baris paling bawah ialah seluruh hasil darab, dan selang tempat hasil darab positif ditandakan dengan warna merah:

Kita mencari bilakah hasil darab lebih besar daripada sifar. Titik-titik genting itu sendiri tidak termasuk dalam penyelesaian kerana pada titik itu hasil darab sama dengan sifar, dan sifar tidak lebih besar daripada sifar. Penyelesaiannya ialah

$$x\in (-2,1)\cup (3,\mathrm{\infty }).$$

Semakan: bagi x = 4 kita memperoleh 6 · 3 · 1 = 18, dan nombor ini memang positif.

Hasil yang sama dapat dilihat pada graf fungsi y = (x + 2)(x − 1)(x − 3). Graf menyilang paksi-x tepat pada titik-titik genting, dan di antara dua titik genting yang bersebelahan, graf berada sepenuhnya di atas paksi atau sepenuhnya di bawahnya. Di bahagian yang berada di atas paksi, hasil darab positif, dan bahagian ini ditandakan dengan warna merah:

Tanda tidak semestinya berselang-seli

Dalam contoh tadi, tanda berselang-seli secara teratur: negatif, positif, negatif, positif. Hal ini menggoda kita untuk menentukan tanda dalam satu selang sahaja, kemudian terus menukar tanda bagi selang-selang yang lain. Jangan lakukan begitu. Perhatikan ketaksamaan

$$(x-1{)}^2(x+2)\ge 0.$$

Titik gentingnya ialah 1 dan −2, jadi kita mempunyai tiga selang. Kita cuba satu nombor daripada setiap selang:

• x = −3: (−4)² · (−1) = 16 · (−1) = −16, negatif,
• x = 0: (−1)² · 2 = 2, positif,
• x = 2: 1² · 4 = 4, positif.

Apabila melintasi satu, tanda tidak berubah. Puncanya ialah kuasa dua: (x − 1)² ialah kuasa dua, dan kuasa dua sentiasa positif atau sifar, walau apa pun nilai di dalamnya. Oleh itu, faktor dengan kuasa genap tidak pernah menyongsangkan tanda hasil darab. Jika kita hanya menukar tanda secara berselang-seli, kita akan memperoleh tanda negatif dalam selang terakhir dan kehilangan sebahagian besar penyelesaian.

Jadi, ungkapan ini positif dalam (−2, 1) dan dalam (1, ∞). Namun, ketaksamaan ini menyatakan “lebih besar daripada atau sama dengan”, jadi kita juga mengambil titik-titik tempat ungkapan itu sama dengan sifar, iaitu kedua-dua titik genting, −2 dan 1. Oleh itu, satu termasuk dalam penyelesaian kerana kesamaan itu, dan dua selang tadi bercantum menjadi satu:

$$x\in [-2,\mathrm{\infty }).$$

Berhati-hati dengan ketaksamaan tegas: bagi (x − 1)²(x + 2) > 0, satu tidak termasuk dalam penyelesaian, dan kita memperoleh (−2, 1) ∪ (1, ∞), iaitu selang yang berlubang.

Bentuk pecahan

Pecahan dikendalikan dengan cara yang sama kerana hasil bahagi mempunyai tanda yang sama seperti hasil darab: hasil bahagi positif jika pengangka dan penyebut mempunyai tanda yang sama. Kita selesaikan ketaksamaan

$$\frac{x+2}{x-4}\le 0.$$

Kita cari titik genting dalam pengangka dan juga dalam penyebut: x = −2 dan x = 4. Kita gantikan satu nombor daripada setiap selang:

• x = −3: $\frac{-1}{-7}$, positif,
• x = 0: $\frac{2}{-4}$, negatif,
• x = 5: $\frac{7}{1}$, positif.

Kita mencari nilai negatif atau sifar. Pecahan ini negatif dalam selang (−2, 4). Nilainya sifar apabila pengangka sifar, iaitu bagi x = −2, dan nilai ini termasuk dalam penyelesaian. Tetapi empat tidak pernah termasuk, walau apa pun tanda dalam ketaksamaan. Bagi x = 4, penyebutnya sifar, dan kita tidak boleh membahagi dengan sifar. Oleh itu, titik genting penyebut sentiasa dikecualikan.

Dalam rajah, hal ini ditunjukkan oleh bulatan. Bulatan penuh pada −2 bermaksud nombor itu termasuk dalam penyelesaian, manakala bulatan kosong pada empat bermaksud nombor itu tidak termasuk. Penyelesaiannya ialah

$$x\in [-2,4).$$

Jangan darab dengan penyebut

Kaedah titik genting hanya berfungsi apabila salah satu belah ketaksamaan ialah sifar. Ambil ketaksamaan

$$\frac{2x-1}{x+1}\ge 1.$$

Memang menggoda untuk mendarabnya dengan penyebut x + 1, memperoleh 2x − 1 ≥ x + 1, lalu x ≥ 2. Tetapi kita tidak tahu sama ada x + 1 positif atau negatif, dan apabila mendarab dengan nombor negatif, tanda ketaksamaan perlu disongsangkan. Oleh itu, operasi itu bukan operasi setara, dan sebahagian daripada penyelesaian telah hilang. Anda boleh membaca lebih lanjut dalam artikel tentang ketaksamaan linear.

Cara yang betul ialah memindahkan semua sebutan ke satu belah:

$$\frac{2x-1}{x+1}-1\ge 0$$

Kita tulis satu sebagai pecahan dengan penyebut yang sama:

$$\frac{2x-1}{x+1}-\frac{x+1}{x+1}\ge 0$$

Kemudian kita tolak pecahan-pecahan itu:

$$\frac{x-2}{x+1}\ge 0$$

Titik gentingnya ialah 2 dan −1. Bagi x = −2 kita memperoleh $\frac{-4}{-1}=4$, positif. Bagi x = 0 kita memperoleh $\frac{-2}{1}$, negatif. Bagi x = 3 kita memperoleh $\frac{1}{4}$, positif. Dua termasuk dalam penyelesaian (pecahan itu sama dengan sifar di situ), tetapi negatif satu tidak termasuk kerana nilai itu ialah titik genting penyebut. Jadi, penyelesaian lengkapnya ialah

$$x\in (-\mathrm{\infty },-1)\cup [2,\mathrm{\infty }).$$

Kita boleh mengesahkan bahawa pendaraban dengan penyebut memang telah menghilangkan sebahagian penyelesaian dengan menggantikan x = −2 ke dalam ketaksamaan asal: $\frac{-5}{-1}=5$, dan lima lebih besar daripada satu. Betul.