Persamaan linear dengan nilai mutlak

Nilai mutlak ialah fungsi yang tidak mengubah nombor bukan negatif dan menukar nombor negatif menjadi nombor positif. Nilai mutlak boleh muncul semasa menyelesaikan persamaan linear.

Ulang kaji

Mari kita ingat semula cara mengira dan menulis nilai mutlak. Ungkapan dalam nilai mutlak ditulis di antara dua garis tegak seperti ini: |a|. Kita menyebutnya “nilai mutlak bagi a”. Nilai mutlak bagi nombor bukan negatif ialah nombor itu sendiri. Contohnya: |3| = 3, |64| = 64, |π| = π. Namun, nilai mutlak bagi nombor negatif ialah nombor positif: $|-7|=7,|-\pi |=\pi ,|-\frac{1}{2}|=\frac{1}{2}$. Nilai mutlak bagi sifar ialah sifar.

Contoh mudah

Contoh persamaan linear yang mudah dengan nilai mutlak ialah persamaan |x| = 3. Persoalannya, bilakah nilai mutlak memberikan hasil tiga? Terdapat dua nilai x, satu positif dan satu negatif, jadi persamaan ini mempunyai dua penyelesaian. Yang pertama ialah x₁ = 3 kerana |3| = 3. Penyelesaian kedua ialah x₂ = −3 kerana |−3| = 3.

Mari kita ubah suai persamaan ini supaya lebih sukar. |2x + 1| = 5 Di dalam nilai mutlak kini terdapat ungkapan yang lebih rumit. Namun, kita boleh menggunakan kaedah yang sama seperti tadi. Nombor apakah yang nilai mutlaknya sama dengan lima? Sekali lagi 5 dan −5. Apakah kesimpulannya? Ungkapan di dalam nilai mutlak, iaitu 2x + 1, mesti sama dengan lima atau negatif lima. Hanya dalam keadaan itu persamaan mempunyai penyelesaian. Jadi, kita selesaikan persamaan 2x + 1 = 5 dan 2x + 1 = −5 sebagai persamaan linear biasa. Kita memperoleh:

$$\begin{array}{rcl}2x+1& =& 5\\ 2x& =& 4\\ x& =& 2\end{array}$$

Dan penyelesaian kedua:

$$\begin{array}{rcl}2x+1& =& -5\\ 2x& =& -6\\ x& =& -3\end{array}$$

Kita memperoleh dua penyelesaian: x₁ = 2 dan x₂ = −3. Kita boleh menggantikannya ke dalam persamaan asal sebagai semakan. Bagi x = 2, kita memperoleh |2 · 2 + 1| = |4 + 1| = |5| = 5, dan bagi x = −3, kita memperoleh |2 · (−3) + 1| = |−6 + 1| = |−5| = 5.

Menghapuskan nilai mutlak

Kaedah tadi sukar digunakan apabila persamaannya lebih rumit, misalnya persamaan ini:

$$|4x+2|+|x-1|=6$$

Di sini terdapat dua ungkapan dalam nilai mutlak, jadi kita perlu memilih kaedah lain. Mula-mula, contoh yang lebih mudah: apakah yang berlaku kepada ungkapan |x − 2| jika kita mengambil x daripada selang (2, ∞)? Ungkapan di dalam nilai mutlak sentiasa positif. Jika kita menggantikan, misalnya, tiga, kita memperoleh 3 − 2 = 1. Jika kita menggantikan sepuluh, kita memperoleh 10 − 2 = 8, dan seterusnya. Bagi sebarang nombor dalam selang ini, ungkapan di dalam nilai mutlak positif. Bagaimanakah nilai mutlak mengubah nilai ini? Langsung tidak. Inilah penemuan yang penting. Jika ungkapan di dalam nilai mutlak sentiasa positif, nilai mutlak boleh dibuang kerana tidak diperlukan. Jika kita mengambil x daripada selang (2, ∞), maka |x − 2| = x − 2 (iaitu kita telah menghapuskan nilai mutlak).

Sekarang contoh sebaliknya: bagaimana jika kita mengambil x daripada selang (−∞, 2)? Apakah nilai ungkapan di dalam nilai mutlak, iaitu nilai ungkapan x − 2? Nilainya sentiasa negatif! Cuba gantikan satu: 1 − 2 = −1, atau sifar: 0 − 2 = −2. Apakah yang dilakukan oleh nilai mutlak kepada nilai ini? Nilai mutlak menukarnya menjadi positif, iaitu mengubah tandanya. Perubahan tanda boleh dilakukan dengan mendarab dengan negatif satu kerana 5 · (−1) = −5, dan juga −7 · (−1) = 7 serta −15 · (−1) = 15.

Jadi, jika kita mengambil x daripada selang (−∞, 2), ungkapan di dalam nilai mutlak sentiasa negatif, dan nilai mutlak akan mengubah tanda ungkapan itu, iaitu mendarabnya dengan −1. Oleh itu, bagi x daripada (−∞, 2), kesamaan berikut benar: |x − 2| = −(x − 2). Mari kita cuba gantikan sifar. Mula-mula ke dalam ungkapan dengan nilai mutlak: |0 − 2| = |−2| = 2, kemudian ke dalam sebelah kanan: −(0 − 2) = −(−2) = 2.

Seperti yang dapat dilihat, selang-selang seperti ini membolehkan kita memecahkan ungkapan dengan nilai mutlak kepada dua ungkapan berbeza yang boleh diselesaikan secara berasingan sepenuhnya. Hal ini memudahkan kerja kita. Persoalan yang tinggal ialah bagaimana mencari selang-selang ini?

Kaedah titik genting

Bilakah ungkapan x − 2 bertukar tanda? Daripada bahagian sebelumnya, kita tahu bahawa ungkapan ini negatif di seluruh selang (−∞, 2) dan positif di seluruh selang (2, ∞). Apakah nilainya pada titik x = 2? Dengan penggantian, kita dapati bahawa 2 − 2 = 0, iaitu sifar. Hal ini bukan kebetulan. Sebabnya paling jelas dilihat pada graf fungsi linear:

Graf fungsi linear ialah garis lurus. Garis lurus hanya boleh menyilang paksi-x sekali, dan apabila garis itu menyilang paksi-x, tandanya berubah. Oleh itu, jika fungsi linear menyilang paksi-x pada titik a, tandanya dalam selang (−∞, a) berbeza daripada tandanya dalam selang (a, ∞).

Jadi, jika kita mencari selang tempat fungsi linear positif dan selang tempat fungsi itu negatif, kita hanya perlu mencari titik genting, iaitu titik x₀ yang menjadikan nilai fungsi linear f sifar: f(x₀) = 0. Oleh itu, jika kita mencari selang tempat ungkapan x − 2 positif, kita selesaikan dahulu persamaan x − 2 = 0. Penyelesaiannya ialah x = 2. Kemudian kita boleh membentuk selang (−∞, 2) dan (2, ∞). Dalam selang-selang ini, kita menyelesaikan persamaan seterusnya tanpa nilai mutlak.

Akhirnya kembali kepada contoh…

Jauh di atas tadi, kita telah memberikan contoh:

$$|4x+2|+|x-1|=6$$

Bagaimanakah kita menyelesaikannya? Mula-mula, kita cari titik genting bagi setiap ungkapan di dalam nilai mutlak, iaitu bagi ungkapan 4x + 2 dan x − 1. Ungkapan 4x + 2 mempunyai titik genting $x=-\frac{1}{2}$, dan ungkapan x − 1 mempunyai titik genting x = 1. Oleh sebab terdapat dua titik genting, kita memperoleh tiga selang. Setiap titik genting membahagikan selang (−∞, ∞). Jadi, kita memperoleh selang $(-\mathrm{\infty },-\frac{1}{2})$, $[-\frac{1}{2},1]$ dan (1, ∞). Selang-selang sentiasa dipilih supaya meliputi seluruh selang (−∞, ∞).

Dalam langkah seterusnya, kita perlu menentukan sama ada setiap ungkapan positif atau negatif dalam setiap selang. Untuk itu, kita gunakan jadual:

$$\begin{array}{cccc}x& (-\mathrm{\infty },-\frac{1}{2})& [-\frac{1}{2},1]& (1,\mathrm{\infty })\\ 4x+2& -& +& +\\ x-1& -& -& +\end{array}$$

Tanda minus − bermaksud ungkapan itu negatif dalam selang tersebut, dan tanda plus + bermaksud ungkapan itu positif. Bagaimanakah kita memperolehnya? Kita menggantikan sebarang nombor daripada selang itu. Contohnya, dalam selang tengah kita boleh menggantikan sifar kerana pengiraannya paling mudah. Bagi ungkapan 4x + 2 kita memperoleh 4 · 0 + 2 = 2, dan bagi x − 1 kita memperoleh 0 − 1 = −1.

Petua: jika ungkapan negatif dalam selang pertama dan positif dalam selang berikutnya, ungkapan itu akan kekal positif dalam setiap selang selepasnya. Fungsi linear tidak boleh bertukar tanda dua kali, lihat graf fungsi linear di atas.

Sekarang kita tahu ungkapan yang mana positif atau negatif dalam setiap selang. Pengiraan seterusnya perlu dibahagikan kepada tiga langkah kerana setiap selang perlu diselesaikan secara berasingan.

Selang pertama, iaitu kita mengambil x daripada $(-\mathrm{\infty },-\frac{1}{2})$. Dalam selang ini, kedua-dua ungkapan negatif, jadi jika kita mahu menghapuskan nilai mutlak, kedua-dua ungkapan mesti bertukar tanda. Dalam selang ini, kita menyelesaikan persamaan:

$$-(4x+2)-(x-1)=6$$

Kita selesaikan persamaan ini dengan mudah menggunakan operasi setara:

$$\begin{array}{rcl}-(4x+2)-(x-1)& =& 6\\ -4x-2-x+1& =& 6\\ -5x-1& =& 6\\ -5x& =& 7\\ x& =& -\frac{7}{5}\end{array}$$

Ingat bahawa kita perlu menyemak sama ada penyelesaian ini terletak dalam selang yang sedang kita kaji. Kita kini menganggap x diambil daripada selang $(-\mathrm{\infty },-\frac{1}{2})$, jadi jika kita memperoleh penyelesaian di luar selang ini, penyelesaian itu tidak boleh digunakan. Negatif tujuh perlima terletak dalam selang $(-\mathrm{\infty },-\frac{1}{2})$, jadi nilai ini ialah penyelesaian sah bagi persamaan.

Selang kedua, iaitu kita mengambil x daripada $[-\frac{1}{2},1]$. Dalam selang ini, ungkapan 4x + 2 positif, manakala ungkapan x − 1 masih negatif. Jadi, kita menyelesaikan persamaan

$$4x+2-(x-1)=6$$

Sekali lagi, kita permudahkan:

$$\begin{array}{rcl}4x+2-(x-1)& =& 6\\ 4x+2-x+1& =& 6\\ 3x+3& =& 6\\ 3x& =& 3\\ x& =& 1\end{array}$$

Adakah penyelesaian ini terletak dalam selang yang sedang dikaji? Ya. Kita telah menemui satu lagi penyelesaian persamaan linear ini.

Selang ketiga, iaitu selang (1, ∞). Dalam selang ini, kedua-dua ungkapan positif, jadi nilai mutlak boleh dibuang tanpa perubahan lain. Kita menyelesaikan persamaan:

$$4x+2+x-1=6$$

Persamaan ini mudah diselesaikan:

$$\begin{array}{r}4x+2+x-1=6\\ 5x+1=6\\ 5x=5\\ x=1\end{array}$$

Kita memperoleh satu lagi penyelesaian, sama seperti dalam selang sebelumnya. Namun, adakah penyelesaian ini sah bagi selang yang sedang dikaji? Tidak! Kita berada dalam selang terbuka (1, ∞), dan satu tidak termasuk dalam selang ini. Oleh itu, penyelesaian yang ditemui dalam langkah ketiga ini tidak boleh dikira sebagai penyelesaian sah.

Persamaan linear dengan nilai mutlak ini mempunyai dua penyelesaian, iaitu set penyelesaian $S=\{-\frac{7}{5},1\}$.

Penyelesaian secara graf

Sama seperti persamaan linear biasa, persamaan ini juga boleh diselesaikan secara graf. Di sebelah kiri terdapat fungsi f(x) = |4x + 2|+|x − 1| dan di sebelah kanan g(x) = 6. Kita lakarkan kedua-dua graf ini, dan graf-graf itu bersilang pada dua titik. Koordinat-x bagi titik-titik ini ialah penyelesaian persamaan.

Jadi, set penyelesaian S mengandungi nilai-nilai $S=\{-\frac{7}{5},1\}$.