Persamaan dwikuadratik

Contoh persamaan dwikuadratik ialah persamaan 3x⁴ + 7x² + 5 = 0. Secara umum, persamaan dipanggil persamaan dwikuadratik jika persamaan itu boleh diubah dengan operasi setara kepada bentuk

$$a{x}^4+b{x}^2+c=0$$

dengan a, b, c ialah nombor nyata dan pekali a bukan sifar. Persamaan ini agak menyerupai persamaan kuadratik, cuma kuasanya dua kali lebih besar. Bagaimanakah kita menyelesaikan persamaan seperti ini? Kita ubah persamaan itu menjadi persamaan kuadratik dengan sedikit helah. Helah ini dipanggil penggantian. Kita katakan t = x², dan di setiap tempat yang mengandungi x² dalam persamaan asal, kita tulis t. Sebagai contoh, ambil persamaan dwikuadratik

$$x^4-2x^2-15=0$$

Kita gantikan setiap x² dengan t, dan jangan lupa bahawa x⁴ sebenarnya ialah x² · x², jadi x⁴ = t²:

$$t^2-2t-15=0$$

Sekarang jelas mengapa kita melakukan penggantian ini: kita memperoleh persamaan kuadratik biasa. Persamaan ini boleh diselesaikan, misalnya, dengan mengira pembeza layan atau dengan kaedah penyempurnaan kuasa dua. Pembeza layannya ialah

$$D=b^2-4ac=(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot (-15)=64$$

Jadi, punca persamaan ini ialah

$$t_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{2\pm \sqrt{64}}{2}=\frac{2\pm 8}{2}$$

Kita memperoleh dua punca persamaan:

$$t_1=5,t_2=-3$$

Sekarang kita tahu penyelesaian persamaan kuadratik t² − 2t − 15 = 0. Kita masih perlu mengira penyelesaian persamaan dwikuadratik asal. Kita tahu bahawa persamaan dipenuhi jika t sama dengan lima atau negatif tiga. Tetapi kita tidak mencari penyelesaian bagi t; kita mencari penyelesaian bagi x. Kita tahu bahawa t = x² kerana itulah penggantian yang kita pilih. Oleh itu, dengan menyelesaikan persamaan

$$x^2=5\text{dan}{x}^2=-3$$

kita memperoleh penyelesaian persamaan asal bagi x. Persamaan pertama mudah: jika x² = 5, maka

$$x_1=\sqrt{5},x_2=-\sqrt{5}$$

Persamaan kedua lebih rumit kerana x² = −3 tiada penyelesaian dalam set nombor nyata; penyelesaiannya hanya boleh ditemui dalam set nombor kompleks. Jika kita hanya mencari penyelesaian dalam set nombor nyata, kita boleh mengatakan bahawa persamaan dwikuadratik asal mempunyai dua punca nyata, iaitu $x_1=\sqrt{5}$ dan $x_2=-\sqrt{5}$.