Persamaan linear dengan anu dalam penyebut

Persamaan linear yang mengandungi pecahan dengan pemboleh ubah dalam penyebut diselesaikan dengan cara yang hampir sama seperti persamaan linear biasa. Dalam langkah pertama, kita ubah persamaan kepada bentuk am, kemudian kita selesaikannya seperti biasa.

Apabila penyebutnya hanya x

Jenis persamaan yang paling mudah ialah apabila penyebut hanya mengandungi pemboleh ubah x dan tiada yang lain. Contohnya, persamaan:

$$\frac{10}{x}=5$$

Jelaslah bahawa penyelesaian persamaan ini ialah x = 2. Tetapi bagaimanakah kita menyelesaikannya secara formal dan umum? Kita tidak suka pemboleh ubah dalam penyebut dan perlu menghapuskannya kerana pemboleh ubah itu sukar dimanipulasi. Persoalannya ialah bagaimana kita menghapuskan x daripada penyebut.

Bayangkan pecahan dalam bentuk

$$\frac{a}{b}$$

Dengan ungkapan apakah anda perlu mendarab pecahan ini supaya pecahan itu hilang, iaitu supaya ungkapan itu tidak lagi berbentuk hasil bahagi tetapi berbentuk hasil darab? Dengan nombor apakah anda perlu mendarab satu pertiga (iaitu 1/3) untuk memperoleh suatu integer? Anda perlu mendarabnya dengan penyebut pecahan itu (atau gandaannya). Jika anda mendarab pecahan dengan penyebutnya, anda memperoleh pecahan

$$\frac{a\cdot b}{b}$$

dan di sini penyebut asal b boleh dibatalkan, lalu yang tinggal hanyalah nilai a. Kembali kepada contoh satu pertiga: jika anda mendarab satu pertiga dengan tiga, apakah hasilnya? Tiga pertiga, iaitu nombor satu. Apakah hasilnya jika anda mendarab satu perenam dengan enam? Enam perenam, iaitu satu. Apakah hasilnya jika anda mendarab tiga pertujuh dengan tujuh? Anda memperoleh 3 · 7 = 21, iaitu dua puluh satu pertujuh, yang sama dengan tiga.

Jadi, kita darab sahaja seluruh persamaan dengan pemboleh ubah x, iaitu nilai penyebut. Bolehkah kita berbuat demikian? Jawapannya: boleh. Memang nilai x boleh menjadi sifar kerana kita menganggap x daripada set nombor nyata, tetapi syarat persamaan memberitahu kita bahawa x ≠ 0, kerana x berada dalam penyebut pecahan dan kita tidak boleh membahagi dengan sifar. Jadi, operasi ini ialah operasi setara ke atas persamaan.

Baiklah, kita darab persamaan dengan anu x. Apakah hasilnya?

$$\begin{array}{rcl}\frac{10}{x}& =& 5\\ x\cdot \frac{10}{x}& =& x\cdot 5\\ \frac{10x}{x}& =& 5x\end{array}$$

Apakah langkah seterusnya? Dalam pecahan itu, kita boleh membatalkan x. Daripada pecahan 10x/x hanya tinggal 10: 10 = 5x. Pada peringkat ini, persamaan ini boleh diselesaikan sebagai persamaan linear biasa. Penyelesaiannya ialah x = 2.

Adakah hal ini masuk akal secara intuitif? Ya. Bayangkan persamaan dalam bentuk:

$$\frac{x}{2}=10$$

Apakah yang diberitahu oleh persamaan linear ini? Separuh daripada x sama dengan sepuluh. Jika kita mengambil dua separuh x, jumlahnya mesti dua puluh. Dua separuh x pula sama dengan satu x yang lengkap.

Ungkapan yang lebih rumit dalam penyebut

Penyebut boleh mengandungi ungkapan yang lebih rumit daripada x sahaja. Selesaikan persamaan:

$$\frac{5}{x+2}=10$$

Bagaimanakah kita menyelesaikan persamaan ini? Bagaimanakah kita menghapuskan pecahan? Dalam bahagian sebelumnya, kita mendarab persamaan dengan penyebut dan dengan itu pecahan hilang. Dalam kes ini, kita melakukan perkara yang sama. Jika kita mendarab persamaan dengan ungkapan x + 2, ungkapan x + 2 akan berada dalam pengangka pecahan, lalu boleh dibatalkan. Mari kita darab:

$$\begin{array}{rcl}\frac{5}{x+2}& =& 10\text{(darab dengan }(x+2)\text{)}\\ (x+2)\cdot \frac{5}{x+2}& =& (x+2)\cdot 10\\ \frac{(x+2)\cdot 5}{x+2}& =& 10\cdot (x+2)\text{(batalkan }(x+2)\text{)}\\ 5& =& 10\cdot (x+2)\end{array}$$

Pecahan sudah hilang, dan sekarang kita hanya perlu mengembangkan kurungan dan mengira penyelesaiannya.

$$\begin{array}{rcl}-10x-15& =& 0\\ x& =& -\frac{3}{2}\end{array}$$

Beberapa pecahan

Keadaan boleh menjadi jauh lebih rumit jika persamaan mengandungi beberapa pecahan dan beberapa ungkapan dalam penyebut. Contoh:

$$\frac{5}{x+2}=\frac{4}{x+3}$$

Bagaimanakah kita menyelesaikan persamaan ini? Terdapat dua pecahan dengan penyebut yang berbeza, dan kedua-duanya mengandungi pemboleh ubah x. Caranya ialah mendarab persamaan dengan kedua-dua penyebut. Kita boleh melakukannya satu demi satu atau serentak. Jika kita melakukannya satu demi satu, pengiraannya seperti berikut. Kita mulakan dengan mendarab dengan (x + 2).

$$\begin{array}{rcl}\frac{5}{x+2}& =& \frac{4}{x+3}\text{(darab dengan }(x+2)\text{)}\\ \frac{5(x+2)}{x+2}& =& \frac{4(x+2)}{x+3}\\ 5& =& \frac{4(x+2)}{x+3}\end{array}$$

Kemudian kita darab persamaan dengan penyebut kedua, (x + 3):

$$\begin{array}{rcl}5& =& \frac{4(x+2)}{x+3}\text{(darab dengan }(x+3)\text{)}\\ 5(x+3)& =& \frac{4(x+2)(x+3)}{x+3}\\ 5(x+3)& =& 4(x+2)\end{array}$$

Sekarang kita hanya perlu mengembangkan kurungan dan mengira penyelesaiannya:

$$\begin{array}{rcl}5x+15& =& 4x+8\\ x& =& -7\end{array}$$

Cara kedua ialah mendarab persamaan dengan kedua-dua penyebut secara serentak. Pada awalnya, kita darab persamaan dengan ungkapan (x + 2)(x + 3) dan memperoleh:

$$\begin{array}{rcl}\frac{5}{x+2}& =& \frac{4}{x+3}\text{(darab dengan }(x+2)(x+3)\text{)}\\ \frac{5(x+2)(x+3)}{x+2}& =& \frac{4(x+2)(x+3)}{x+3}\\ 5(x+3)& =& 4(x+2)\end{array}$$

Kita boleh berbuat demikian kerana mendarab persamaan dengan ungkapan a dan kemudian dengan ungkapan b sama dengan mendarabnya dengan ungkapan a · b.