Konsep persamaan

Persamaan ialah salah satu konsep asas dalam matematik dan salah satu alat yang membolehkan seluruh matematik berfungsi.

Contoh pengenalan

Persamaan mempunyai sebelah kiri, tanda sama dengan dan sebelah kanan. Persamaan yang paling mudah boleh kelihatan seperti ini:

$$x=2$$

Di sebelah kiri terdapat pemboleh ubah x, diikuti tanda sama dengan, dan di sebelah kanan terdapat nombor 2. Persamaan ini mudah dan memberitahu kita bahawa nilai pemboleh ubah x sama dengan dua. Lazimnya, pemboleh ubah x mewakili sesuatu yang kita cari, misalnya bilangan butang pada sehelai baju atau gaji seorang pekerja.

Namun, persamaan dalam bentuk ini biasanya ialah jawapan yang kita cari, bukan maklumat yang diberi dalam soalan. Dalam praktik, kita lazimnya mempunyai persamaan yang lebih rumit. Contohnya, kita diberitahu jumlah pendapatan lima orang pekerja dan perlu mencari pendapatan seorang pekerja (dengan andaian semua pekerja memperoleh jumlah yang sama).

Katakan lima orang guru memperoleh RM25 000 sebulan secara keseluruhan. Berapakah pendapatan seorang guru? Kita membina persamaan seperti berikut: gaji seorang guru kita tandakan sebagai x. Oleh itu, kita memperoleh persamaan:

$$5x=25000$$

Persamaan ini ialah tatatanda matematik bagi pernyataan “jumlah gaji lima orang guru ialah 25 000”. Matlamat kita ialah mencari gaji seorang guru, iaitu nilai x = ?. Mari kita mendahului sedikit dan menggunakan operasi setara ke atas persamaan: kita bahagikan persamaan dengan lima. Jika lima orang guru menerima 25 000, seorang guru menerima satu perlima daripada jumlah itu. Hasilnya ialah

$$x=25000/5$$

dan selepas pembahagian

$$x=5000.$$

Takrif persamaan

Untuk mentakrifkan persamaan, kita perlu mengetahui konsep fungsi. Jika kita sudah mengenali fungsi, persamaan boleh dibayangkan sebagai tatatanda kesamaan dua fungsi:

$$f(x)=g(x)$$

Inilah tatatanda am bagi persamaan dalam satu pemboleh ubah. Di sebelah kiri terdapat fungsi f dan di sebelah kanan fungsi g. Tugas kita ialah mencari punca persamaan, iaitu nilai-nilai x yang menyebabkan fungsi f dan g mempunyai nilai yang sama.

Jadi, kita mahu mencari nilai x tertentu, katakan x₁, yang memenuhi

$$f(x_1)=g(x_1)$$

Ambil persamaan 2x = −4x + 6 sebagai contoh. Di sini f(x) = 2x dan g(x) = −4x + 6. Kita mencari nilai x yang menyebabkan fungsi f mempunyai nilai yang sama dengan fungsi g. Dengan menyelesaikan persamaan menggunakan operasi setara, kita memperoleh:

$$\begin{array}{rcl}2x& =& -4x+6\\ 2x+4x& =& -4x+4x+6\\ 6x& =& 6\\ x& =& 1\end{array}$$

Penyelesaian persamaan ini ialah x = 1. Bagi nilai ini, kedua-dua fungsi sepatutnya memberikan nilai yang sama. Jika kita menggantikan satu ke dalam fungsi f, kita memperoleh

$$f(1)=2\cdot 1=2$$

Nilai fungsi f pada titik satu ialah dua. Bagaimana pula dengan fungsi g? Kita gantikan satu ke dalamnya:

$$g(1)=-4\cdot 1+6=-4+6=2$$

Sekali lagi kita memperoleh dua. Maka, nombor satu ialah punca persamaan ini. Nombor ini juga satu-satunya punca persamaan dalam set nombor nyata. Jika kita menggantikan nilai lain ke dalam kedua-dua fungsi, kita akan memperoleh hasil yang berbeza. Contohnya, bagi lima:

$$\begin{array}{rcl}f(5)& =& 2\cdot 5=10\\ g(5)& =& -4\cdot 5+6=-20+6=-14\end{array}$$

Maksud graf

Penyelesaian persamaan mempunyai maksud graf yang menarik dan jelas. Jika anda melakar graf fungsi di sebelah kiri dan di sebelah kanan persamaan, graf-graf itu bersilang di tempat persamaan itu mempunyai penyelesaian.

Kembali kepada persamaan 2x = −4x + 6. Fungsi di sebelah kiri ialah f(x) = 2x dan fungsi di sebelah kanan ialah g(x) = −4x + 6. Kita tahu bahawa punca persamaan ini ialah x = 1. Oleh itu, kedua-dua fungsi sepatutnya bersilang pada titik satu. Berikut ialah graf kedua-dua fungsi:

Kedua-dua garis lurus bersilang pada satu titik, dan koordinat titik ini ialah (1, 2). Koordinat pertama ialah nilai x, iaitu punca persamaan. Koordinat kedua ialah nilai y, iaitu nilai kedua-dua fungsi apabila satu digantikan ke dalamnya.

Jadi, penyelesaian persamaan ialah semua titik persilangan antara fungsi di sebelah kiri dengan fungsi di sebelah kanan. Kita sering menyusun semula persamaan supaya sebelah kanannya sifar, iaitu fungsi pemalar g(x) = 0. Kemudian kita mencari tempat graf fungsi di sebelah kiri menyilang paksi-x. Persamaan 2x = −4x + 6 tadi boleh disusun semula supaya sebelah kanannya sifar seperti berikut:

$$\begin{array}{rcl}2x& =& -4x+6\\ 6x& =& 6\\ 6x-6& =& 0\end{array}$$

Jika kita melakar graf fungsi di sebelah kiri…

… kita dapati bahawa graf itu menyilang paksi-x pada titik 1. Walaupun kita telah menyusun semula persamaan supaya sebelah kanannya sifar, kita memperoleh hasil yang sama, iaitu satu.

Bilangan penyelesaian persamaan

Daripada tafsiran graf, kita boleh menentukan bilangan penyelesaian yang mungkin bagi sesuatu persamaan. Dengan itu, kita mudah menjawab soalan seperti: Adakah setiap persamaan mempunyai penyelesaian? Bolehkah persamaan mempunyai lebih daripada satu penyelesaian? Bolehkah persamaan mempunyai penyelesaian yang tak terhingga banyaknya?

Tiada penyelesaian

Mari kita mulakan mengikut urutan. Adakah wujud persamaan yang tiada penyelesaian? Soalan ini setara dengan soalan: adakah wujud dua graf fungsi yang tidak pernah bersilang? Sudah tentu ada. Jika kita kekal dengan persamaan linear, yang grafnya ialah garis lurus, cukup ambil dua garis lurus yang selari. Contohnya:

$$x+1=x+2$$

Dengan akal biasa sahaja kita dapat melihat bahawa x + 1 tidak mungkin sama dengan x + 2. Jika kita melakar grafnya, kita memperoleh:

Kedua-dua fungsi ialah garis lurus yang selari, jadi garis-garis itu tidak akan bersilang. Oleh itu, persamaan yang dibina daripadanya tiada penyelesaian. Persamaan ini boleh diselesaikan seperti berikut:

$$\begin{array}{rcl}x+1& =& x+2\\ x-x& =& 2-1\\ 0x& =& 1\\ 0& \ne & 1\end{array}$$

Jelas bahawa persamaan ini memang tiada penyelesaian.

Kita boleh mencipta banyak lagi persamaan yang tiada penyelesaian, contohnya persamaan x² = x − 1. Graf kedua-dua fungsi tidak pernah bersilang:

Beberapa penyelesaian

Bolehkah persamaan mempunyai lebih daripada satu penyelesaian (tetapi masih terhingga)? Sekali lagi, soalan ini setara dengan soalan: adakah wujud dua graf fungsi yang bilangan titik persilangannya terhingga tetapi lebih daripada satu?

Sudah tentu ada. Contoh terakhir dalam bahagian sebelumnya ialah persamaan dengan fungsi kuadratik dan fungsi linear. Kita boleh mengubah suai graf tadi dengan menganjakkan garis lurus supaya garis itu menyilang graf fungsi kuadratik pada dua titik. Cukup gantikan y = x − 1 dengan fungsi y = x.

Graf-graf itu bersilang pada dua titik. Persamaan ini boleh diselesaikan seperti berikut:

$$\begin{array}{rcl}{x}^2& =& x\\ x^2-x& =& 0\\ x\cdot (x-1)& =& 0\\ x_1& =& 0\\ x_2& =& 1\end{array}$$

Penyelesaian yang tak terhingga banyaknya

Adakah wujud persamaan yang mempunyai penyelesaian yang tak terhingga banyaknya? Dengan kata lain, adakah wujud dua graf yang bersilang pada titik yang tak terhingga banyaknya? Ya, ada. Cukup ambil sebarang fungsi berkala dan lukis garis lurus yang sesuai merentasinya. Fungsi berkala yang tipikal ialah sinus. Julat sinus ialah selang [−1, 1] dan nilai-nilainya berulang secara berkala dalam julat ini.

Jadi, cukup tetapkan sin(x) = a, dengan a ialah suatu nilai dalam julat itu. Contoh khusus boleh kelihatan seperti ini: sin(x) = 0.5. Graf fungsinya:

Dalam rajah, garis lurus itu menyilang graf sinus pada beberapa titik. Graf sinus terus beralun ke kanan dan ke kiri, jadi garis lurus itu akan menyilangnya tak terhingga kali lagi di kedua-dua belah.

Fungsi yang sama dalam persamaan

Bolehkah berlaku keadaan apabila sebarang nilai daripada domain fungsi boleh digantikan untuk x dan persamaan tetap benar? Hal ini berlaku hanya apabila kedua-dua fungsi itu sama atau apabila satu fungsi boleh diubah menjadi fungsi yang satu lagi. Contohnya:

$$2x+4=2\cdot (x+2)$$

Pada pandangan pertama, kedua-dua belah mempunyai fungsi yang berbeza. Namun, jika kita mengembangkan kurungan di sebelah kanan, kita memperoleh fungsi yang sama:

$$2x+4=2x+4$$

Set penyelesaian persamaan seperti ini sama dengan domain fungsinya, iaitu set nombor nyata. Persamaan seperti ini boleh diringkaskan kepada bentuk 0 = 0.

$$\begin{array}{rcl}2x+4& =& 2x+4\text{(tolak }2x\text{)}\\ 4& =& 4\text{(tolak 4)}\\ 0& =& 0\end{array}$$