Ketaksamaan eksponen dan logaritma

Ketaksamaan eksponen ialah persamaan eksponen yang tanda sama dengannya digantikan dengan tanda ketaksamaan. Contohnya:

$$2^x>8$$

Langkahnya bermula sama seperti persamaan. Kita tulis lapan sebagai kuasa bagi dua:

$$2^x>2^3$$

Bagi persamaan 2^x = 2³, kita akan menyamakan indeks dan memperoleh x = 3. Mengapakah hal ini dibenarkan? Fungsi 2^x ialah fungsi menokok: semakin besar indeks, semakin besar nilai kuasanya. Oleh itu, fungsi ini tidak mengambil sebarang nilai dua kali, dan dua kuasa bagi dua sama hanya jika indeksnya sama. Penaakulan yang sama membantu kita dalam ketaksamaan, cuma kita juga perlu menentukan arahnya. Dua kuasa sesuatu lebih besar daripada dua kuasa tiga jika dan hanya jika sesuatu itu lebih besar daripada tiga:

$$x>3$$

Penyelesaiannya ialah selang (3, ∞). Hal ini masuk akal: 2⁴ = 16 lebih besar daripada lapan, tetapi 2² = 4 tidak. Dalam rajah, penyelesaian ini ialah bahagian paksi-x yang di atasnya graf merah lebih tinggi daripada garis hijau.

Lain pula halnya bagi ketaksamaan dengan asas yang kurang daripada satu, contohnya ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x>8$. Fungsi ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ ialah fungsi menyusut: semakin besar indeks, semakin banyak kali kita mendarab dengan setengah, dan semakin kecil nombor yang diperoleh. Dalam rajah, fungsi ini berwarna biru:

Graf ini berada di atas garis y = 8 hanya di sebelah kiri −3, jadi ketaksamaan ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x>8$ mempunyai penyelesaian x < −3. Tanda ketaksamaan telah disongsangkan. Seluruh rahsia ketaksamaan eksponen terletak pada peraturan ini:

• asas lebih besar daripada satu: fungsi menokok dan tanda ketaksamaan kekal,
• asas antara sifar dengan satu: fungsi menyusut dan tanda ketaksamaan disongsangkan.

Asas kurang daripada satu

Mari kita selesaikan ketaksamaan

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^x\ge 9.$$

Kita perlu menulis sembilan sebagai kuasa bagi satu pertiga. Satu pertiga kuasa negatif satu ialah tiga, dan satu pertiga kuasa negatif dua ialah sembilan:

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^x\ge {\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}$$

Asasnya sama, tetapi asas $\frac{1}{3}$ kurang daripada satu. Jadi, kita bandingkan indeks dan songsangkan tanda ketaksamaan:

$$x\le -2$$

Penyelesaiannya ialah selang (−∞, −2]. Kita semak dengan x = −3: ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3}=3^3=27$, dan nilai ini memang lebih besar daripada sembilan.

Kesilapan paling lazim dalam soalan seperti ini ialah: terlupa menyongsangkan tanda. Jika seseorang menulis x ≥ −2, maka sifar, misalnya, akan memenuhinya. Tetapi ${\left(\frac{1}{3}\right)}^0=1$, dan satu kurang daripada sembilan.

Jika anda tidak selesa bekerja dengan pecahan sebagai asas, anda boleh menulis semula $\frac{1}{3}$ sebagai 3⁻¹. Ketaksamaan itu menjadi 3^−x ≥ 3², iaitu −x ≥ 2. Kali ini asasnya lebih besar daripada satu dan tanda kekal, tetapi apabila kita membahagi dengan negatif satu, tanda disongsangkan mengikut peraturan operasi ke atas ketaksamaan. Kita memperoleh x ≤ −2 sekali lagi. Dengan apa-apa cara pun, tanda itu tetap disongsangkan.

Apabila asas yang sama tidak dapat diperoleh

Dalam ketaksamaan 3^x < 5, kita tidak dapat menulis lima sebagai kuasa bagi tiga dengan indeks integer. Kita selesaikannya seperti persamaan: kita ambil logaritma bagi kedua-dua belah, kali ini logaritma asas tiga. Logaritma ini menokok, jadi tanda tidak berubah: log₃ 3^x < log₃ 5, iaitu x < log₃ 5. Kita boleh membiarkan jawapan dalam bentuk ini. Kedudukan anggaran nombor ini dapat dilihat daripada ketaksamaan 3 < 5 < 9, jadi log₃ 5 terletak di antara log₃ 3 = 1 dan log₃ 9 = 2.

Ketaksamaan logaritma

Bagi ketaksamaan logaritma, peraturan yang sama tentang asas berlaku, dan terdapat satu syarat tambahan yang sudah kita kenali daripada persamaan logaritma: nombor dalam logaritma mesti positif. Mari kita cuba dengan ketaksamaan

$${\log }_2(x-1)<3.$$

Mula-mula, syaratnya: x − 1>0, iaitu x>1. Kemudian kita tulis tiga sebagai logaritma asas dua kerana 2³ = 8:

$${\log }_2(x-1)<{\log }_{2}8$$

Asas dua lebih besar daripada satu, jadi logaritma ini menokok dan tanda kekal:

$$\begin{array}{rcl}x-1& <& 8\text{(tambah 1)}\\ x& <& 9\end{array}$$

Akhir sekali, kita gabungkan jawapan ini dengan syaratnya. Mesti berlaku x>1 dan pada masa yang sama x<9, jadi penyelesaiannya ialah selang (1, 9). Sebagai semakan, kita ambil x = 5: log₂ 4 = 2, dan nilai ini memang kurang daripada tiga.

Penyelesaian ini dapat dilihat dalam rajah: graf merah berada di bawah garis hijau bagi semua x dari satu hingga sembilan. Di sebelah kiri satu, graf langsung tidak wujud kerana logaritma tidak tertakrif di situ. Itulah syarat x>1.

Di sini kesilapan yang dilakukan berbeza daripada ketaksamaan eksponen. Jika seseorang terlupa syarat, dia akan menulis jawapan x<9. Tetapi jawapan ini termasuk sifar, sedangkan log₂(0 − 1) = log₂(−1) tidak wujud. Bagi persamaan, syarat yang terlupa akan terdedah semasa semakan, tetapi ketaksamaan mempunyai penyelesaian yang tak terhingga banyaknya dan kita tidak mungkin menggantikan kesemuanya. Oleh itu, kita sentiasa menulis syarat pada awal penyelesaian.

Dalam contoh terakhir, kedua-dua perangkap bertemu:

$${\log }_{\frac{1}{2}}x>2$$

Syaratnya ialah x>0. Kita tulis dua sebagai logaritma asas setengah kerana ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$:

$${\log }_{\frac{1}{2}}x>{\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{4}$$

Asasnya kurang daripada satu, jadi tanda ketaksamaan sekali lagi disongsangkan:

$$x<\frac{1}{4}$$

Bersama syarat x>0, kita memperoleh penyelesaian $(0,\frac{1}{4})$. Kita semak, misalnya, $x=\frac{1}{8}$: setengah kuasa tiga ialah satu perlapan, jadi ${\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{8}=3$, dan nilai ini memang lebih besar daripada dua.