Ketaksamaan trigonometri

Ketaksamaan trigonometri kelihatan seperti persamaan trigonometri, cuma tanda sama dengannya digantikan dengan <, >, ≤ atau ≥. Ambil contoh ini:

$$\sin x>\frac{1}{2}$$

Kita mencari semua x yang menjadikan sinus lebih besar daripada setengah. Sebahagian kerja sudah selesai. Persamaan $\sin x=\frac{1}{2}$ telah kita selesaikan dalam artikel tentang persamaan trigonometri, dan dalam satu putaran kita memperoleh dua penyelesaian: $\frac{\pi }{6}$ dan $\frac{5\pi }{6}$. Kedua-dua nombor ini berfungsi sebagai sempadan. Di satu kawasan di antara kedua-duanya, sinus lebih besar daripada setengah, dan di kawasan lain sinus lebih kecil. Kita hanya perlu menentukan kawasan yang mana.

Pada bulatan unit

Hal ini paling mudah dilihat pada bulatan unit. Sinus bagi suatu sudut ialah koordinat-y bagi titik pada bulatan, jadi ketaksamaan $\sin x>\frac{1}{2}$ sebenarnya bertanya: titik-titik manakah pada bulatan yang terletak di atas garis $y=\frac{1}{2}$?

Garis biru menyilang bulatan pada dua titik yang sepadan dengan sudut $\frac{\pi }{6}$ dan $\frac{5\pi }{6}$. Hanya lengkok merah di antara kedua-dua titik itu yang terletak di atas garis. Selagi lengan sudut berputar lawan arah jam dari $\frac{\pi }{6}$ ke $\frac{5\pi }{6}$, sinus lebih besar daripada setengah. Sebaik sahaja lengan itu meninggalkan lengkok, nilai sinus jatuh di bawah setengah.

Titik hujung tidak termasuk dalam penyelesaian, sebab itulah titik-titik ini ditandakan dengan bulatan kosong dalam rajah. Pada titik itu, sinus sama dengan $\frac{1}{2}$ dengan tepat, sedangkan kita mahukan nilai yang lebih besar secara tegas. Jadi, dalam satu putaran kita memperoleh selang terbuka

$$(\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}).$$

Namun, sinus ialah fungsi berkala dengan kala 2π: selepas setiap putaran lengkap, semuanya berulang. Oleh itu, kita tambahkan 2kπ pada kedua-dua hujung dan memperoleh jawapan

$$x\in (\frac{\pi }{6}+2k\pi ,\frac{5\pi }{6}+2k\pi ),$$

dengan k ∈ ℤ. Bagi k = 0, inilah lengkok dalam rajah, dan bagi k = 1, inilah lengkok yang sama dianjakkan satu putaran, iaitu selang $(\frac{13\pi }{6},\frac{17\pi }{6})$. Penyelesaiannya terdiri daripada selang yang tak terhingga banyaknya, dan setiap selang dipisahkan sejauh 2π.

Untuk memastikan, kita semak jawapan ini. Cuba $x=\frac{\pi }{2}$, yang terletak dalam selang itu. Kita memperoleh $\sin \frac{\pi }{2}=1$, dan satu memang lebih besar daripada setengah. Sebaliknya, x = π tidak terletak dalam selang itu, dan sin π = 0, yang tidak lebih besar daripada setengah. Jadi, jawapan ini betul.

Selang yang melintasi sifar

Sekarang kosinus:

$$\mathrm{kos}x>\frac{1}{2}$$

Kosinus ialah koordinat-x bagi titik pada bulatan, jadi kita mencari titik-titik di sebelah kanan garis tegak yang menyilang paksi mengufuk pada $\frac{1}{2}$. Persamaan $\mathrm{kos}x=\frac{1}{2}$ juga mempunyai dua penyelesaian dalam putaran pertama, iaitu $\frac{\pi }{3}$ dan $\frac{5\pi }{3}$ ($\frac{\pi }{3}$ ialah 60° daripada nilai bagi sudut khas, dan $\frac{5\pi }{3}$ ialah titik yang bersimetri dengannya di bawah paksi-x). Lengkok di sebelah kanan garis bermula pada titik $\frac{5\pi }{3}$ di bawah, melalui sifar dan berakhir di atas pada titik $\frac{\pi }{3}$.

Di sinilah timbul godaan besar untuk menulis

$$(\frac{5\pi }{3},\frac{\pi }{3}).$$

Awas, perangkap! Hujung kiri selang mesti lebih kecil daripada hujung kanan, tetapi $\frac{5\pi }{3}$ lebih besar daripada $\frac{\pi }{3}$. Selang seperti ini kosong kerana tiada nombor yang lebih besar daripada $\frac{5\pi }{3}$ dan pada masa yang sama lebih kecil daripada $\frac{\pi }{3}$.

Pembetulannya mudah. Sebagai ganti $\frac{5\pi }{3}$, kita ambil titik yang sama pada bulatan, tetapi satu putaran ke belakang:

$$\frac{5\pi }{3}-2\pi =-\frac{\pi }{3}.$$

Sudut $-\frac{\pi }{3}$ menunjuk ke tempat yang sama pada bulatan seperti $\frac{5\pi }{3}$, cuma kita sampai ke situ dengan berputar ikut arah jam. Sekarang hujung kiri lebih kecil daripada hujung kanan, dan jawapannya ialah

$$x\in (-\frac{\pi }{3}+2k\pi ,\frac{\pi }{3}+2k\pi ),$$

dengan k ∈ ℤ. Hal ini juga jelas kelihatan pada graf kosinus:

Bahagian merah di sekitar sifar sepadan tepat dengan selang bagi k = 0. Bahagian di sebelah kanan, yang bermula pada $\frac{5\pi }{3}$, ialah salinannya bagi k = 1, iaitu $(\frac{5\pi }{3},\frac{7\pi }{3})$. Tatatanda ini juga betul, cuma dengan nilai k yang berbeza. Tatatanda menjadi salah hanya apabila hujung-hujungnya tertukar.

Tangen

Contoh terakhir:

$$\tan x\ge 1$$

Tangen sama dengan satu bagi $x=\frac{\pi }{4}$. Pada setiap cabangnya, graf tangen sentiasa menokok, jadi bagi x yang sedikit lebih besar, tangen lebih besar daripada satu. Namun, tangen hanya menokok sehingga $\frac{\pi }{2}$, tempat nilainya menuju ke infiniti, dan selepas itu tangen bermula semula dari negatif infiniti. Jadi, pada satu cabang graf, semua nilai dari $\frac{\pi }{4}$ hingga $\frac{\pi }{2}$ memenuhi ketaksamaan ini.

Di sini dua kesilapan sering berlaku. Kesilapan pertama berkaitan dengan kala. Tangen tidak berulang selepas 2π seperti sinus, tetapi sudah berulang selepas π. Jika seseorang menambahkan 2kπ kerana kebiasaan, dia akan kehilangan separuh daripada penyelesaian, misalnya $x=\frac{5\pi }{4}$, tempat tangen juga sama dengan satu.

Kesilapan kedua berlaku pada hujung kanan. Hujung kiri $\frac{\pi }{4}$ termasuk dalam penyelesaian kerana ketaksamaan ini tidak tegas dan $\tan \frac{\pi }{4}=1$ memenuhinya. Tetapi hujung kanan $\frac{\pi }{2}$ tidak pernah termasuk, walaupun ketaksamaan itu tidak tegas. Tangen tidak tertakrif pada titik itu, jadi nilainya tidak boleh lebih besar daripada atau sama dengan satu. Kita tersilap jika menulis selang tertutup $[\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}]$ hanya kerana soalan mengandungi tanda ≥.

Jadi, jawapan yang betul ialah

$$x\in [\frac{\pi }{4}+k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi ),$$

dengan k ∈ ℤ. Sebagai semakan, kita gantikan $x=\frac{\pi }{3}$, yang terletak dalam selang bagi k = 0. Kita memperoleh $\tan \frac{\pi }{3}=\sqrt{3}\approx 1.73$, iaitu lebih daripada satu.