Persamaan trigonometri

Persamaan trigonometri ialah persamaan yang mengandungi fungsi trigonometri, iaitu sinus, kosinus, tangen atau kotangen.

Persamaan trigonometri asas

Diberi persamaan sin x = 0. Bagi nilai x yang manakah persamaan ini benar? Bilakah sinus sama dengan sifar? Kita mulakan dengan melihat grafnya:

Kita dapati bahawa sin x agak kerap sama dengan sifar, iaitu bagi nilai −π, 0, π, 2π dan banyak lagi. Oleh sebab sinus ialah fungsi berkala, penyelesaian-penyelesaian persamaan ini berulang pada jarak yang tetap, dalam kes ini pada jarak π. Oleh itu, set semua penyelesaian persamaan ini boleh ditulis sebagai set, katakan R, yang ditakrifkan seperti berikut:

$$R=\{K\cdot \pi |K\in \mathbb{Z}\}$$

Jadi, penyelesaiannya ialah semua gandaan K bagi nombor pi, dengan K ialah integer. Dengan ini, kita telah memerihalkan set semua penyelesaian persamaan sin x = 0.

Ingat bahawa julat sinus dan kosinus ialah selang [−1, 1]. Oleh itu, persamaan sin x = 2 tiada penyelesaian kerana kita tidak dapat mencari x yang menjadikan nilai sin x lebih besar daripada satu. Sudah tentu, persamaan 3 · sin x = 2 mempunyai penyelesaian kerana kita boleh membahagi kedua-dua belah dengan tiga, dan sebelah kanan menjadi nombor yang kurang daripada satu. Kita akan mencari punca persamaan sin x = 2/3.

Mengira contoh yang mudah

Persamaan trigonometri yang mudah diselesaikan dengan membaca nilainya, misalnya daripada graf atau daripada bulatan unit, dan menentukan kala yang perlu ditambahkan pada jawapan. Contoh: selesaikan persamaan

$$\sin x=\frac{1}{2}$$

Graf fungsi sinus terdapat di atas, jadi kita lihat bilakah lengkung itu bernilai $\frac{1}{2}$. Kita dapati bahawa hal ini berlaku pada 1/6π dan 5/6π. Saya sangat menyarankan anda menghafal nilai fungsi trigonometri bagi sudut khas; tanpa nilai-nilai ini, melihat graf pun tidak akan membantu.

Sekarang kita perlu menentukan kala supaya kita tahu cara membina set semua penyelesaian. Fungsi sinus mempunyai kala 2π: jika anda melihat grafnya, anda akan dapati bahawa fungsi ini mula berulang selepas setiap 2π.

Jadi, jika satu penyelesaian persamaan ialah 1/6π, maka setiap nombor 1/6π + 2Kπ, dengan K ialah integer, juga mesti menjadi penyelesaian persamaan kerana pada titik itu fungsi sinus mempunyai nilai fungsi yang sama. Sebutan 2K hanya menunjukkan bahawa kita mahukan integer genap sahaja. Jika anda menggantikan sebarang integer untuk K dan mendarabnya dengan dua, anda memperoleh nombor genap. Begitu juga dengan punca kedua, 5/6π. Pada titik 5/6π, 5/6π + 14π dan 5/6π − 82π, fungsi sin x mempunyai nilai fungsi yang sama, jadi semua 5/6π + 2Kπ ialah penyelesaian persamaan.

Kita tulis set akhir R, iaitu kesatuan kedua-dua hasil tadi:

$$R=\{\frac{1}{6}\pi +2K\pi |K\in \mathbb{Z}\}\cup \{\frac{5}{6}\pi +2K\pi |K\in \mathbb{Z}\}$$

Secara graf, penyelesaian ini boleh digambarkan sebagai titik persilangan graf fungsi sin x (graf merah) dengan fungsi $y=\frac{1}{2}$ (graf hijau).

Contohnya, jika kita menggantikan K dengan nilai K = 0, kita memperoleh penyelesaian:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \frac{1}{6}\pi +2K\pi =\frac{1}{6}\pi +2\cdot 0\cdot \pi =\frac{1}{6}\pi \\ x_2& =& \frac{5}{6}\pi +2K\pi =\frac{5}{6}\pi +2\cdot 0\cdot \pi =\frac{5}{6}\pi \end{array}$$

Jadi, x₁ = 1/6π dan x₂ = 5/6π. Dalam rajah, penyelesaian ini sepadan dengan titik B dan C kerana koordinat-x titik-titik ini masing-masing ialah 1/6π dan 5/6π. Jika kita menggantikan K = 1, kita memperoleh titik D dan E.

Penggantian

Jika fungsi mengandungi ungkapan yang lebih rumit, kita boleh menggunakan penggantian. Contohnya, jika kita mahu menyelesaikan persamaan sin 2x = 1, kita gantikan a = 2x, kemudian kita selesaikan persamaan dalam bentuk sin a = 1 seperti yang ditunjukkan dalam bahagian sebelumnya. Penggantian biasanya dilakukan dengan mengambil ungkapan di dalam fungsi, dalam kes ini 2x, dan menulis anu lain sebagai gantinya. Anu itu boleh dinamakan apa-apa sahaja; di sini kita memilih nama a. Kita juga boleh membuat penggantian q = 2x atau oren = 2x, lalu menulis sin oren = 1.

Jadi, penggantian mempermudahkan ungkapan yang sedang kita kira. Hakikat bahawa ungkapan a sebenarnya sama dengan 2x akan kita uruskan kemudian.

Sekarang kita menyelesaikan persamaan sin a = 1, dengan a ialah anu. Kita mencari bilakah sinus sama dengan satu. Kita dapati bahawa sinus sama dengan satu bagi nilai π/2 + 2Kπ. Jadi, punca-punca persamaan sin a = 1 ialah unsur-unsur set

$$R=\{\frac{\pi }{2}+2K\pi |K\in \mathbb{Z}\}.$$

Akhir sekali, kita perlu ingat semula penggantian kita dan kembali kepada pemboleh ubah asal. Kita tahu bahawa penyelesaian persamaan sin a = 1 ialah unsur-unsur set R tadi. Tetapi kita mahu mengetahui penyelesaian persamaan lain, iaitu sin 2x = 1. Kita juga tahu bahawa a = 2x.

Mari kita ambil satu penyelesaian tertentu daripada set penyelesaian R. Contohnya, bagi K = 1 kita memperoleh penyelesaian a = π/2 + 2π. Pada titik ini, persamaan sin a = 1 dipenuhi. Oleh sebab a = 2x, maka 2x = π/2 + 2π (kita hanya menulis 2x sebagai ganti a).

Tetapi kita tidak berminat dengan 2x; kita mahu nilai x, jadi kita bahagikan seluruh persamaan dengan dua. Kita memperoleh persamaan x = π/4 + π. Dengan itu, kita telah memperoleh satu penyelesaian tertentu bagi persamaan sin 2x = 1.

Jika kita mahu memperoleh semua penyelesaian, kita perlu melakukan operasi ini pada semua unsur set R. Jadi, kita bina persamaan seperti berikut:

$$2x=\frac{\pi }{2}+2K\pi$$

dan ungkapkan x, iaitu kita bahagikan seluruh persamaan dengan dua:

$$x=\frac{\pi }{4}+K\pi$$

Inilah penyelesaian akhirnya. Kita juga menulisnya dalam bentuk set sebagai set baharu R':

$$R^{\prime }=\{\frac{\pi }{4}+K\pi |K\in \mathbb{Z}\}$$

Sekali lagi, ketepatan penyelesaian ini boleh disemak secara graf. Graf merah ialah fungsi sin 2x, dan graf hijau ialah fungsi y = 1.

Jika kita menggantikan K dengan nilai K = 0, kita memperoleh x = π/4, iaitu titik C. Jika kita menggantikan K = 2, kita memperoleh x = π/4 + 2π, iaitu titik E.

Rumus

Semasa menyelesaikan persamaan trigonometri, pelbagai rumus yang perlu anda ketahui sering digunakan. Sebahagiannya asas, sebahagian lagi lebih rumit. Rumus trigonometri telah dipindahkan ke halaman tersendiri, jadi lihatlah di sana.

Contoh

1. Selesaikan persamaan sin(3x − π/2) = 0.

   Kita gunakan penggantian mudah a = 3x − π/2 dan selesaikan persamaan sin a = 0. Kita sudah tahu bahawa sinus sama dengan sifar bagi a = Kπ. Jadi, kita gantikan semula dan selesaikan persamaan:

   $$3x-\frac{\pi }{2}=K\pi$$

   Mula-mula, kita pindahkan π/2 ke sebelah kanan, iaitu kita tambahkan π/2 pada persamaan:

   $$3x=K\pi +\frac{\pi }{2}$$

   Kemudian kita bahagikan persamaan dengan tiga:

   $$x=\frac{K\pi }{3}+\frac{\pi }{6}$$

   Jadi, penyelesaiannya ialah set R₁ yang ditakrifkan seperti berikut:

   $$R_1=\{\frac{K\pi }{3}+\frac{\pi }{6}|K\in \mathbb{Z}\}$$

   Sekali lagi, rajahnya:

   

   Bagi K = 1 kita memperoleh x = π/3 + π/6 = π/2, iaitu titik E.

2. Selesaikan persamaan kos²x − sin x = 1.

   Pertama, kita gunakan rumus dan tukarkan kos² x kepada 1 − sin² x. Kita gantikan ke dalam persamaan dan memperoleh:

   $$\begin{array}{rcl}1-{\sin }^{2}x-\sin x& =& 1\\ {\sin }^{2}x+\sin x& =& 0\end{array}$$

   Sekarang kita faktorkan sin x:

   $$\sin x(\sin (x)+1)=0$$

   Oleh sebab sebelah kiri persamaan kini berbentuk hasil darab dan sebelah kanan ialah sifar, kita selesaikan persamaan sin x = 0 dan sin(x) + 1 = 0 secara berasingan. Seluruh sebelah kiri bernilai sifar jika sekurang-kurangnya satu faktor bernilai sifar.

   Persamaan sin x = 0 sudah beberapa kali kita selesaikan; penyelesaiannya ialah x dalam bentuk Kπ, dengan K ialah integer.

   Persamaan kedua, sin(x) + 1 = 0, kita ubah menjadi persamaan sin(x) = −1. Sinus sama dengan negatif satu bagi nilai 3/2π + 2Kπ.

   Semua unsur set akhir R₂ diperoleh dengan kesatuan.

   $$R_2=\{\frac{3}{2}\pi +2K\pi |K\in \mathbb{Z}\}\cup \{K\pi |K\in \mathbb{Z}\}$$

   Rajah:

   

   Titik A, C, D dan F mempunyai koordinat-x yang merupakan gandaan π, jadi titik-titik ini diperihalkan oleh set di sebelah kanan dalam kesatuan tadi. Jika dalam set di sebelah kiri kesatuan itu kita gantikan K dengan nilai K = 0, kita memperoleh x = 3π/2, yang sepadan dengan titik E, dan jika kita gantikan K = −1, kita memperoleh x = 3π/2 − 2π = −π/2, yang sepadan dengan titik B.

3. Selesaikan persamaan kos² x − sin²x + kos x = 0.

   Dalam langkah pertama, kita gunakan rumus sin²x = 1 − kos²x untuk menukar sinus kuasa dua:

   $$\begin{array}{r}{\mathrm{kos}}^{2}x-(1-{\mathrm{kos}}^{2}x)+\mathrm{kos}x=0\\ {\mathrm{kos}}^{2}x-1+{\mathrm{kos}}^{2}x+\mathrm{kos}x=0\end{array}$$

   Dalam langkah seterusnya, kita tambahkan sebutan serupa:

   $$2{\mathrm{kos}}^{2}x+\mathrm{kos}x-1=0$$

   Akhir sekali, kita buat penggantian a = kos x.

   $$2a^2+a-1=0$$

   Persamaan ini kita selesaikan sebagai persamaan kuadratik biasa. Penyelesaiannya:

   $$a_1=-1,a_2=\frac{1}{2}$$

   Akhir sekali, kita gantikan semula dan selesaikan pasangan persamaan kos x = −1 dan $\mathrm{kos}x=\frac{1}{2}$, kemudian kita cari kesatuan set-set yang diperoleh. Langkah ini mudah, dan kita sudah melakukannya di atas.

4. Selesaikan persamaan sin²x − kos²x = 1.

   Pertama, kita gunakan rumus biasa untuk mengungkapkan kosinus dalam sebutan sinus. Kita memperoleh:

   $$2{\sin }^{2}x=2$$

   Kita bahagikan dengan dua dan tolak satu:

   $${\sin }^{2}x-1=0$$

   Sekarang kita gunakan rumus a² − b² = (a − b)(a + b):

   $$(\sin (x)-1)\cdot (\sin (x)+1)=0$$

   Hasil darab dua ungkapan sama dengan sifar apabila sekurang-kurangnya satu daripada ungkapan itu sifar. Kita sudah tahu bilakah sin x = 1 dan sin x = −1. Penyelesaian persamaan trigonometri ini ialah:

   $$R_4=\{\pi /2+2K\pi |K\in \mathbb{Z}\}\cup \{3\pi /2+2K\pi |K\in \mathbb{Z}\}=\{\pi /2+K\pi |K\in \mathbb{Z}\}$$

   Rajah: