Persamaan surd

Persamaan surd (juga dipanggil persamaan tak nisbah) ialah persamaan yang anunya tersembunyi di bawah tanda punca kuasa. Namanya datang daripada surd, iaitu punca kuasa yang nilainya sering merupakan nombor bukan nisbah. Contohnya:

$$\sqrt{x+3}=5$$

Kita hapuskan punca kuasa dengan mengkuasaduakan seluruh persamaan. Kuasa dua dan punca kuasa dua saling membatalkan kerana ${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+3}& =& 5\text{(kuasa duakan)}\\ x+3& =& 25\text{(tolak 3)}\\ x& =& 22\end{array}$$

Untuk memastikan, kita buat semakan: kita gantikan jawapan ke dalam sebelah kiri persamaan asal (Kiri) dan ke dalam sebelah kanannya (Kanan) secara berasingan, kemudian kita bandingkan kedua-duanya.

$$\begin{array}{rcl}\text{Kiri}& =& \sqrt{22+3}=\sqrt{25}=5\\ \text{Kanan}& =& 5\end{array}$$

Kita memperoleh Kiri = Kanan, jadi jawapan ini betul. Penggantian ini mungkin kelihatan seperti terlalu berhati-hati, tetapi bagi persamaan surd, semakan ialah sebahagian daripada pengiraan, sama pentingnya seperti menaikkan kuasa itu sendiri; tanpa semakan, anda belum memperoleh jawapan. Seluruh kaedah boleh diringkaskan kepada empat langkah: asingkan surd, kuasa duakan persamaan, selesaikan persamaan yang diperoleh, dan akhir sekali buat semakan.

Mengapa semakan wajib

Menaikkan kuasa bukan operasi setara. Jika dua nombor sama, kuasa duanya juga sama, tetapi sebaliknya tidak benar: 3 ≠ − 3, sedangkan 3² = (−3)² = 9. Oleh itu, pengkuasaduaan boleh menghasilkan persamaan yang mempunyai lebih banyak penyelesaian daripada persamaan asal. Perhatikan persamaan

$$\sqrt{x+2}=x.$$

Kita kuasa duakan kedua-dua belah dan pindahkan semua sebutan ke satu belah:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+2}& =& x\text{(kuasa duakan)}\\ x+2& =& x^2\text{(tolak }x+2\text{)}\\ 0& =& x^2-x-2\end{array}$$

Kita memperoleh persamaan kuadratik. Persamaan ini difaktorkan menjadi (x − 2)(x + 1) = 0, jadi punca-puncanya ialah x = 2 dan x = −1. Sekarang tiba masanya untuk semakan, mula-mula dengan dua:

$$\begin{array}{rcl}\text{Kiri}& =& \sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2\\ \text{Kanan}& =& 2\end{array}$$

Kedua-dua belah sama, Kiri = Kanan, jadi dua ialah penyelesaian. Bagaimana pula dengan negatif satu?

$$\begin{array}{rcl}\text{Kiri}& =& \sqrt{-1+2}=\sqrt{1}=1\\ \text{Kanan}& =& -1\end{array}$$

Di sebelah kiri kita memperoleh satu, dan di sebelah kanan negatif satu, jadi Kiri ≠ Kanan. Negatif satu bukan penyelesaian, walaupun pengiraan kita menghasilkannya dengan jujur. Persamaan ini mempunyai satu penyelesaian sahaja, iaitu x = 2.

Dari manakah punca palsu ini datang? Rajah menunjukkannya dengan paling jelas. Sebelah kiri persamaan ialah fungsi $y=\sqrt{x+2}$ (merah), dan sebelah kanan ialah garis lurus y = x (biru). Penyelesaian persamaan ialah tempat kedua-dua garisan bersilang, dan tempat itu hanyalah titik (2, 2), iaitu x = 2.

Garis putus-putus kelabu ialah fungsi $y=-\sqrt{x+2}$. Apabila kita mengkuasaduakan $y=\sqrt{x+2}$ dan juga $y=-\sqrt{x+2}$, tanda negatif hilang, dan kedua-duanya menjadi y² = x + 2 yang sama. Jadi, pengkuasaduaan menggabungkan persamaan $\sqrt{x+2}=x$ dan $-\sqrt{x+2}=x$ menjadi satu, lalu persamaan kuadratik menemui titik persilangan bagi kedua-duanya. Lengkung kelabu bertemu garis lurus pada titik (−1, −1), dan dari situlah negatif satu kita datang. Penceroboh seperti ini hanya dapat dikesan dengan pasti melalui semakan.

Rajah ini juga menunjukkan satu perkara lagi: kedua-dua lengkung punca kuasa, yang merah dan yang kelabu, hanya bermula pada x = −2. Nombor di bawah tanda punca kuasa tidak boleh negatif, jadi persamaan ini hanya bermakna bagi x ≥ − 2. Punca palsu negatif satu terletak dalam julat ini, jadi syarat ini tidak dapat menapisnya. Hanya semakan yang mendedahkannya.

Asingkan surd terlebih dahulu

Mari kita selesaikan persamaan seterusnya

$$\sqrt{2x-3}+3=x.$$

Memang sangat menggoda untuk terus mengkuasaduakan sebelah kiri bersama tiga. Tetapi kuasa dua bagi hasil tambah tidak dikira sebutan demi sebutan, (a + b)² = a² + 2ab + b², jadi kita akan memperoleh

$${(\sqrt{2x-3}+3)}^2=2x-3+6\sqrt{2x-3}+9$$

dan punca kuasa itu masih berada dalam persamaan, cuma dalam bentuk yang lebih buruk. Oleh itu, kita asingkan surd terlebih dahulu di satu belah, barulah kita kuasa duakan:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{2x-3}+3& =& x\text{(tolak 3)}\\ \sqrt{2x-3}& =& x-3\text{(kuasa duakan)}\\ 2x-3& =& x^2-6x+9\text{(tolak }2x-3\text{)}\\ 0& =& x^2-8x+12\end{array}$$

Sebelah kanan dikuasaduakan dengan rumus yang sama, (x − 3)² = x² − 6x + 9. Persamaan kuadratik ini difaktorkan menjadi (x − 6)(x − 2) = 0 dengan punca x = 6 dan x = 2. Kita mulakan semakan dengan enam:

$$\begin{array}{rcl}\text{Kiri}& =& \sqrt{2\cdot 6-3}+3=\sqrt{9}+3=6\\ \text{Kanan}& =& 6\end{array}$$

Kita memperoleh Kiri = Kanan, jadi enam memenuhi persamaan. Sekarang dua:

$$\begin{array}{rcl}\text{Kiri}& =& \sqrt{2\cdot 2-3}+3=\sqrt{1}+3=4\\ \text{Kanan}& =& 2\end{array}$$

Empat bukan dua, Kiri ≠ Kanan. Awas, perangkap! Penyelesaiannya hanyalah x = 6.

Mengapakah dua gagal dalam semakan? Selepas mengasingkan surd, kita memperoleh $\sqrt{2x-3}=x-3$. Punca kuasa dua tidak pernah negatif, jadi persamaan ini hanya boleh benar bagi x yang menjadikan x − 3 sekurang-kurangnya sifar. Bagi x = 2, sebelah kanan ialah −1, dan tiada punca kuasa dua yang memberikan nilai itu. Anda boleh menyemak syarat ini lebih awal, tetapi penggantian pada akhir penyelesaian lebih mudah dan mengesan semua masalah sekali gus.

Kadangkala tiada nilai yang lulus semakan. Persamaan $\sqrt{x}+5=1$ menjadi $\sqrt{x}=-4$ selepas surd diasingkan. Selepas dikuasaduakan, kita memperoleh x = 16, tetapi semakan memberikan $\text{Kiri}=\sqrt{16}+5=9$ dan Kanan = 1, iaitu Kiri ≠ Kanan. Persamaan ini tiada penyelesaian, dan hal ini sepatutnya jelas sejak awal kerana punca kuasa dua tidak pernah sama dengan negatif empat.

Dua surd

Apabila persamaan mengandungi dua surd, satu kali pengkuasaduaan biasanya tidak mencukupi. Namun, langkahnya tidak berubah: asingkan, kuasa duakan, dan jika masih ada punca kuasa, ulang seluruh langkah. Mari kita cuba persamaan ini

$$\sqrt{x+5}-\sqrt{x}=1.$$

Kedua-dua surd tidak dapat diasingkan serentak, jadi sekurang-kurangnya kita pindahkan $\sqrt{x}$ ke sebelah kanan supaya setiap surd berada di belah yang berbeza. Jika kita mengkuasaduakan beza di sebelah kiri, kita akan memperoleh hasil darab $\sqrt{x+5}\cdot \sqrt{x}$, yang akan merumitkan penyelesaian. Jadi, kita kuasa duakan seperti berikut:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+5}& =& 1+\sqrt{x}\text{(kuasa duakan)}\\ x+5& =& 1+2\sqrt{x}+x\end{array}$$

Di sebelah kanan, kita sekali lagi mengkuasaduakan binomial, jadi sebutan tengah $2\sqrt{x}$ muncul. Mujurlah sebutan x saling membatalkan dan hanya tinggal satu surd:

$$\begin{array}{rcl}x+5& =& 1+2\sqrt{x}+x\text{(tolak }x+1\text{)}\\ 4& =& 2\sqrt{x}\text{(bahagi dengan 2)}\\ 2& =& \sqrt{x}\text{(kuasa duakan)}\\ 4& =& x\end{array}$$

Kita telah mengkuasaduakan dua kali, jadi semakan di sini dua kali lebih penting:

$$\begin{array}{rcl}\text{Kiri}& =& \sqrt{4+5}-\sqrt{4}=3-2=1\\ \text{Kanan}& =& 1\end{array}$$

Kiri = Kanan, betul, jadi persamaan ini mempunyai penyelesaian x = 4.