Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit

Bất phương trình mũ là một phương trình mũ trong đó dấu bằng được thay bằng dấu bất đẳng thức. Chẳng hạn:

$$2^x>8$$

Cách làm bắt đầu giống như với phương trình. Viết số 8 dưới dạng luỹ thừa của 2:

$$2^x>2^3$$

Với phương trình 2^x = 2³, đến đây ta so sánh các số mũ và được x = 3. Vì sao được làm vậy? Hàm số 2^x đồng biến: số mũ càng lớn thì luỹ thừa càng lớn. Vì vậy hàm số không nhận giá trị nào hai lần, và hai luỹ thừa của 2 bằng nhau chỉ khi chúng có cùng số mũ. Lập luận tương tự giúp ta giải bất phương trình, chỉ cần xác định thêm chiều của bất đẳng thức. Luỹ thừa của 2 với một số mũ nào đó lớn hơn 2 mũ 3 khi và chỉ khi số mũ đó lớn hơn 3:

$$x>3$$

Tập nghiệm là khoảng (3; +∞). Kiểm tra: 2⁴ = 16 lớn hơn 8, còn 2² = 4 thì không. Trên hình, đó là phần trục hoành mà ở phía trên, đồ thị màu đỏ nằm cao hơn đường thẳng màu xanh lá.

Bất phương trình với cơ số nhỏ hơn 1 thì khác, chẳng hạn ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x>8$. Hàm số ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ nghịch biến: số mũ càng lớn thì càng nhân với một phần hai nhiều lần và kết quả càng nhỏ. Trên hình, đồ thị của hàm số này có màu xanh dương:

Đồ thị chỉ vượt lên trên đường thẳng y = 8 ở bên trái điểm −3, nên bất phương trình ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x>8$ có nghiệm x < −3. Chiều bất đẳng thức đã đổi. Toàn bộ “bí quyết” của bất phương trình mũ nằm ở quy tắc sau:

• cơ số lớn hơn 1: hàm số đồng biến và chiều bất đẳng thức giữ nguyên,
• cơ số nằm giữa 0 và 1: hàm số nghịch biến và chiều bất đẳng thức đổi ngược.

Cơ số nhỏ hơn 1

Xét bất phương trình

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^x\ge 9.$$

Phải viết số 9 dưới dạng luỹ thừa của một phần ba. Một phần ba mũ −1 bằng 3, một phần ba mũ −2 bằng 9:

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^x\ge {\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}$$

Hai cơ số bằng nhau, nhưng cơ số $\frac{1}{3}$ nhỏ hơn 1. Vậy ta so sánh các số mũ và đổi chiều bất đẳng thức:

$$x\le -2$$

Tập nghiệm là nửa khoảng (−∞; −2]. Kiểm tra với x = −3: ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3}=3^3=27$, đúng là lớn hơn 9.

Lỗi thường gặp nhất ở dạng bài này là: quên đổi chiều bất đẳng thức. Nếu viết x ≥ −2 thì chẳng hạn số 0 sẽ là nghiệm. Nhưng ${\left(\frac{1}{3}\right)}^0=1$, mà 1 nhỏ hơn 9.

Nếu không quen làm việc với phân số ở cơ số, có thể viết $\frac{1}{3}$ thành 3⁻¹. Khi đó bất phương trình trở thành 3^−x ≥ 3², tức là −x ≥ 2. Lần này cơ số lớn hơn 1 nên chiều bất đẳng thức giữ nguyên, nhưng khi chia hai vế cho −1 thì phải đổi chiều theo quy tắc biến đổi bất phương trình. Kết quả vẫn là x ≤ −2. Đằng nào thì chiều bất đẳng thức cũng phải đổi.

Khi không đưa được về cùng cơ số

Trong bất phương trình 3^x < 5, không thể viết số 5 dưới dạng luỹ thừa của 3 với số mũ nguyên. Ta làm giống như với phương trình: lôgarit hoá hai vế, lần này bằng lôgarit cơ số 3. Hàm số này đồng biến, nên chiều bất đẳng thức không đổi: log₃ 3^x < log₃ 5, tức là x < log₃ 5. Có thể để nguyên kết quả như vậy. Vị trí gần đúng của số này suy ra từ bất đẳng thức 3 < 5 < 9, nên log₃ 5 nằm giữa log₃ 3 = 1 và log₃ 9 = 2.

Bất phương trình lôgarit

Với bất phương trình lôgarit, quy tắc về cơ số vẫn như trên, và có thêm một điều kiện đã biết từ phương trình lôgarit: biểu thức dưới dấu lôgarit phải dương. Thử với bất phương trình

$${\log }_2(x-1)<3.$$

Trước hết là điều kiện: x − 1>0, tức là x>1. Sau đó viết số 3 dưới dạng lôgarit cơ số 2, vì 2³ = 8:

$${\log }_2(x-1)<{\log }_{2}8$$

Cơ số 2 lớn hơn 1, hàm số lôgarit đồng biến và chiều bất đẳng thức giữ nguyên:

$$\begin{array}{rcl}x-1& <& 8/+1\\ x& <& 9\end{array}$$

Cuối cùng kết hợp kết quả với điều kiện. Phải có x>1 và đồng thời x<9, nên tập nghiệm là khoảng (1; 9). Để kiểm tra, lấy x = 5: log₂ 4 = 2, đúng là nhỏ hơn 3.

Tập nghiệm thấy được trên hình: đồ thị màu đỏ nằm dưới đường thẳng màu xanh lá với mọi x từ 1 đến 9. Bên trái số 1 hoàn toàn không có đồ thị, vì ở đó lôgarit không xác định. Đó chính là điều kiện x>1.

Ở đây lỗi thường gặp khác với bất phương trình mũ. Ai quên điều kiện sẽ viết kết quả x<9. Nhưng khi đó số 0 cũng là nghiệm, mà log₂(0 − 1) = log₂(−1) không xác định. Với phương trình, bước thử lại sẽ phát hiện điều kiện bị bỏ quên, nhưng bất phương trình có vô số nghiệm, không thể thay hết. Vì vậy luôn viết điều kiện ngay từ đầu.

Ví dụ cuối cùng có cả hai cái bẫy:

$${\log }_{\frac{1}{2}}x>2$$

Điều kiện là x>0. Viết số 2 dưới dạng lôgarit cơ số một phần hai, vì ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$:

$${\log }_{\frac{1}{2}}x>{\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{4}$$

Cơ số nhỏ hơn 1, nên chiều bất đẳng thức lại đổi:

$$x<\frac{1}{4}$$

Kết hợp với điều kiện x>0, ta được tập nghiệm $(0;\frac{1}{4})$. Kiểm tra chẳng hạn với $x=\frac{1}{8}$: một phần hai mũ 3 bằng một phần tám, nên ${\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{8}=3$, đúng là lớn hơn 2.