Phương trình lôgarit

Phương trình lôgarit là phương trình mà ẩn thường nằm trong biểu thức dưới dấu lôgarit. Phương trình đơn giản nhất có thể như sau:

$${\log }_{2}x=3$$

Lôgarit là số mũ mà ta cần nâng cơ số lên để được biểu thức dưới dấu lôgarit. Vậy phương trình hỏi: phải nâng 2 lên luỹ thừa bao nhiêu để được x? Luỹ thừa bậc ba. Do đó

$$x=2^3=8.$$

Đồ thị cũng cho thấy điều đó. Ta tìm điểm mà đồ thị hàm số y = log₂ x cắt đường thẳng nằm ngang y = 3:

Hàm số log₂ x đồng biến, nên chỉ cắt đường thẳng một lần và phương trình có nghiệm duy nhất. Đó là toàn bộ bí quyết của phương trình lôgarit: ta cố gắng đưa mọi thứ về dạng một vế là một lôgarit, vế kia là một số hoặc cũng là một lôgarit. Đây là mẹo tương tự như với phương trình mũ, khi ta tìm cách đưa về cùng cơ số.

Điều kiện xác định

Lôgarit chỉ xác định với số dương. log₂(−4) bằng bao nhiêu? Phải nâng 2 lên luỹ thừa bao nhiêu để được −4? Không có số mũ nào, vì luỹ thừa của 2 luôn dương. Từ đó suy ra biểu thức dưới dấu của mọi lôgarit trong phương trình đều phải dương.

Tuy nhiên, các phép biến đổi với lôgarit mà ta sẽ thực hiện không phải lúc nào cũng tương đương, và có thể âm thầm làm mất điều kiện này. Khi đó có thể xuất hiện một giá trị mà với nó phương trình ban đầu hoàn toàn không có nghĩa. Lỗi điển hình: giải phương trình một cách máy móc, ghi lại mọi giá trị tìm được mà không kiểm tra xem có được phép thay chúng vào lôgarit hay không.

Có hai cách tránh lỗi này:

• ngay từ đầu tìm điều kiện xác định, tức tập xác định của phương trình, và cuối cùng loại các giá trị không thuộc tập đó,
• hoặc cuối cùng thử lại, thay từng giá trị vào phương trình ban đầu.

Thử lại chắc chắn hơn, vì còn phát hiện được cả lỗi tính toán thông thường. Với phương trình lôgarit, việc thử lại thường ngắn, nên lần nào cũng nên làm.

Khử lôgarit

Nếu biến đổi được phương trình về dạng

$${\log }_{a}f(x)={\log }_{a}g(x),$$

trong đó hai vế là lôgarit cùng cơ số, ta có thể đơn giản “bỏ” lôgarit đi và giải phương trình

$$f(x)=g(x).$$

Được phép làm vậy vì hàm số lôgarit đồng biến khi cơ số lớn hơn 1 và nghịch biến khi cơ số nhỏ hơn 1, nên hàm số chỉ nhận cùng một giá trị khi biểu thức dưới dấu lôgarit như nhau. Bước này gọi là khử lôgarit (mũ hoá). Nhưng chú ý: chỉ được bỏ lôgarit khi mỗi vế có đúng một lôgarit và không có gì khác. Từ phương trình log x + log 3 = log 12, bỏ lôgarit đi không cho x + 3 = 12. Trước hết phải gộp vế trái thành một lôgarit, như sẽ trình bày ở mục sau, và khi đó mới được x = 4.

Bây giờ ta thử với một ví dụ:

$$\log (2x+3)=\log (x+7)$$

Nhắc lại rằng log không ghi cơ số là lôgarit thập phân, tức là lôgarit cơ số 10. Hai vế có cùng cơ số, nên ta khử lôgarit, phần còn lại là một phương trình bậc nhất thông thường:

$$\begin{array}{rcl}2x+3& =& x+7/-x\\ x+3& =& 7/-3\\ x& =& 4\end{array}$$

Thử lại: vế trái bằng log(2 · 4 + 3) = log 11, vế phải bằng log(4 + 7) = log 11. Đúng, cả hai biểu thức dưới dấu lôgarit đều dương, nên nghiệm là x = 4.

Quy tắc tính lôgarit

Thường thì một vế có nhiều lôgarit. Khi đó phải dùng các quy tắc tính lôgarit để gộp chúng thành một. Xét phương trình

$${\log }_{2}x+{\log }_2(x-2)=3.$$

Trước hết là điều kiện. Phải có x>0 và đồng thời x − 2>0, kết hợp lại là x>2.

Tổng các lôgarit cùng cơ số bằng lôgarit của tích, log_a u + log_a v = log_a(u · v), với u và v dương. Vậy ta gộp vế trái:

$${\log }_2(x(x-2))=3$$

Bây giờ lại trở về trường hợp ban đầu: vế trái là một lôgarit, vế phải là một số, nên chỉ cần dùng định nghĩa:

$$x(x-2)=2^3$$

Nhân phá ngoặc và chuyển số 8 sang vế trái:

$$x^2-2x-8=0$$

Đây đã là phương trình bậc hai. Phân tích vế trái thành nhân tử (x − 4)(x + 2) = 0, ta được hai giá trị:

$$x_1=4,x_2=-2$$

Cẩn thận, có bẫy! Số −2 không thoả mãn điều kiện x>2, không thể thay vào phương trình ban đầu, vì log₂(−2) không xác định. Giá trị này từ đâu ra? Từ việc gộp các lôgarit. Với x = −2, biểu thức x(x − 2) có giá trị 8, tức là dương, nên phương trình sau biến đổi không có vấn đề gì với nó. Nhưng phương trình ban đầu thì có. Khi gộp các lôgarit, ta đã mở rộng phương trình thêm những số mà với chúng phương trình ban đầu không có nghĩa.

Thử lại với x = 4: log₂ 4 + log₂ 2 = 2 + 1 = 3. Đúng, vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 4.

Đặt ẩn phụ

Đôi khi trong phương trình xuất hiện bình phương của lôgarit:

$${\log }^{2}x-3\log x+2=0$$

Cách viết log² x nghĩa là (log x)², tức là lấy lôgarit trước rồi mới bình phương, chứ không phải log(x²). Điều kiện chỉ là x>0.

Thoạt nhìn có vẻ đáng sợ, nhưng nhìn kĩ thì đây là một phương trình bậc hai “đội lốt”. Đặt ẩn phụ a = log x:

$$a^2-3a+2=0$$

Phân tích thành (a − 1)(a − 2) = 0, nên a = 1 hoặc a = 2. Chưa xong, vì ta cần tìm x chứ không phải a. Vậy trở lại ẩn ban đầu:

$$\log x=1\Rightarrow x={10}^1=10$$

$$\log x=2\Rightarrow x={10}^2=100$$

Cả hai giá trị đều dương, nên thoả mãn điều kiện. Thử lại với x = 100: log 100 = 2, nên 2² − 3 · 2 + 2 = 4 − 6 + 2 = 0. Với x = 10 ta được 1 − 3 + 2 = 0. Phương trình có hai nghiệm, x = 10 và x = 100.