Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Giải bất phương trình bậc nhất bằng các phép biến đổi tương tự như khi giải phương trình bậc nhất thông thường. Bất phương trình bậc nhất thường có dạng: ax + b>0 (hoặc nhỏ hơn, lớn hơn hoặc bằng, nhỏ hơn hoặc bằng). Chỉ cần biến đổi bất phương trình về dạng sau là có ngay kết quả: x>−b/a. Tất nhiên ở đây giả sử a>0. Nếu a âm thì khi chia phải đổi chiều bất đẳng thức, và ta được x<−b/a.

Bất phương trình bậc nhất thông thường

Có thể giải bất phương trình bậc nhất bằng các phép biến đổi tương đương bất phương trình.

• Một ví dụ đơn giản như sau:

  $$3x+9>3$$

  Trước hết, chuyển tất cả các hạng tử không chứa ẩn sang vế phải. Như vậy ta cộng số −9 vào hai vế và được bất phương trình:

  $$\begin{array}{rcl}3x+9-9& >& 3-9\\ 3x& >& -6\end{array}$$

  Sau đó chia hai vế của bất phương trình cho 3:

  $$\begin{array}{rcl}3x/3& >& -6/3\\ x& >& -2\end{array}$$

  Đó là kết quả của bất phương trình. Nghiệm của bất phương trình là mọi x > −2.

  Cũng có thể giải bất phương trình bằng đồ thị. Với bất phương trình 3x + 9 > 3, ta vẽ đồ thị của hai hàm số ở vế trái và vế phải, tức là các hàm số f(x) = 3x + 9 và g(x) = 3. Đồ thị của chúng như sau:

  

  Hai đồ thị cắt nhau tại một điểm x₁ có hoành độ đúng bằng −2. Ta cũng thấy rằng với mọi x > x₁, tức là với mọi x thuộc khoảng (−2; +∞), đồ thị màu đỏ của hàm số 3x + 9 nằm “trên” đồ thị màu xanh dương của hàm số 3 (“trên” ở đây nghĩa là “có tung độ lớn hơn”). Điều này khớp với kết quả vừa tính ở trên.

• Khi có nhiều dấu trừ, đôi khi nên nhân hai vế của bất phương trình với −1. Khi đó, ngoài các giá trị trong bất phương trình, phải đổi cả chiều bất đẳng thức: lớn hơn thành nhỏ hơn và ngược lại:

  $$\begin{array}{rcl}-x& <& -10/\cdot (-1)\\ x& >& 10\end{array}$$

  Tất nhiên điều này đúng mỗi khi nhân hai vế của bất phương trình với một số âm bất kì. Thêm một ví dụ nhanh:

  $$\begin{array}{rcl}-3x+8& <& 2x-7\\ -5x& <& -15/\cdot (-\frac{1}{5})\\ x& >& 3\end{array}$$

  Ở bước đầu, ta cộng −2x vào hai vế như bình thường, tức là chuyển tất cả các hạng tử chứa ẩn sang vế trái. Đồng thời trừ hai vế cho 8, tức là chuyển các hằng số sang vế phải. Sau đó chỉ cần nhân hai vế của bất phương trình với $-\frac{1}{5}$.

  Để minh hoạ, hãy xem cách giải bất phương trình bằng đồ thị, trong đó vẽ hai hàm số f(x) = −3x + 8 và g(x) = 2x − 7.

  

  Đồ thị màu đỏ của hàm số −3x + 8 nằm dưới đồ thị màu xanh dương của hàm số 2x − 7 mỗi khi x > 3.

Ẩn ở mẫu

Bất phương trình bậc nhất chứa phân thức có ẩn ở mẫu được giải theo cách phức tạp hơn một chút. Ví dụ, xét bất phương trình:

$$\frac{2}{x}+3>4$$

Không thể nhân hai vế của bất phương trình với ẩn ở mẫu, vì ta không biết dấu của nó. Nếu giá trị của ẩn âm thì phải đổi chiều bất đẳng thức. Vì vậy không thể tuỳ tiện nhân hai vế của bất phương trình với ẩn ở mẫu. Đó không phải là phép biến đổi tương đương bất phương trình.

Ta bắt đầu biến đổi bất phương trình sao cho vế trái là một phân thức, còn vế phải bằng 0. Trước hết cộng −4 vào hai vế, ta được:

$$\begin{array}{r}\frac{2}{x}+3>4\\ \frac{2}{x}-1>0\end{array}$$

Bây giờ phải đưa biểu thức ở vế trái về một phân thức. Nhân số −1 với phân thức $\frac{x}{x}$, như vậy hai biểu thức có cùng mẫu, rồi cộng các phân thức:

$$\begin{array}{rcl}\frac{2}{x}-1& >& 0\\ \frac{2}{x}-\frac{x}{x}& >& 0\\ \frac{2-x}{x}& >& 0\end{array}$$

Bây giờ câu hỏi đặt ra là: khi nào phân thức dương? Phân thức dương nếu tử và mẫu cùng dương, hoặc tử và mẫu cùng âm. Nếu một trong hai dương, còn số kia âm thì phân thức âm. Chẳng hạn, phân số $\frac{4}{3}$ biểu thị một số dương. Phân số $\frac{-3}{4}$ biểu thị một số âm. Còn phân số $\frac{-3}{-4}$ lại biểu thị một số dương, vì hai dấu trừ triệt tiêu nhau. Tổng quát, có thể viết:

$$\begin{array}{rcl}\frac{\text{dương}}{\text{dương}}& =& \text{dương}\\ \frac{\text{dương}}{\text{âm}}& =& \text{âm}\\ \frac{\text{âm}}{\text{dương}}& =& \text{âm}\\ \frac{\text{âm}}{\text{âm}}& =& \text{dương}\end{array}$$

Như vậy, ta phải giải hai hệ bất phương trình. Bắt đầu với trường hợp tử và mẫu cùng dương:

1. Để tử và mẫu cùng dương, cả hai bất phương trình sau phải đồng thời đúng:

   $$2-x>0\wedge x>0$$

   Với bất phương trình thứ nhất, chỉ cần chuyển 2 sang vế kia và nhân hai vế với −1:

   $$\begin{array}{rcl}2-x& >& 0\\ -x& >& -2\\ x& <& 2\end{array}$$

   Ta có nghiệm của bất phương trình thứ nhất. Bất phương trình thứ hai x > 0 không cần giải thêm gì. Bây giờ phải lấy giao của các tập nghiệm này, vì ta quan tâm đến trường hợp cả hai đều đúng, tức là tử dương và đồng thời mẫu dương. Tập nghiệm thứ nhất có thể viết là khoảng (−∞; 2), tập nghiệm thứ hai là khoảng (0; +∞). Lấy giao của hai khoảng này:

   $$(-\mathrm{\infty };2)\cap (0;+\mathrm{\infty })=(0;2)$$

   Đó là một phần nghiệm của bất phương trình. Nếu thay các số thuộc khoảng này vào thì bất phương trình đúng. Chẳng hạn, thay x = 1, là một số thuộc khoảng (0; 2), ta được bất đẳng thức $\frac{2}{1}+3>4$, tức là 5 > 4. Còn phải xét trường hợp tử và mẫu cùng âm.

2. Trong trường hợp tử và mẫu cùng âm, ta giải các bất phương trình:

   $$2-x<0\wedge x<0$$

   Lại giải nhanh bất phương trình 2 − x < 0:

   $$\begin{array}{rcl}2-x& <& 0\\ -x& <& -2\\ x& >& 2\end{array}$$

   Nghiệm thứ hai đơn giản là x < 0. Viết dưới dạng khoảng: (2; +∞) và (−∞; 0), rồi lấy giao:

   $$(2;+\mathrm{\infty })\cap (-\mathrm{\infty };0)=\mathrm{\varnothing }$$

   Ta được tập rỗng. Điều đó có nghĩa là gì? Phân thức $\frac{2-x}{x}$ không bao giờ có tử âm và đồng thời mẫu âm.

Chỉ còn lấy hợp của hai kết quả trên, ta được tập nghiệm S:

$$S=(0;2)\cup \mathrm{\varnothing }=(0;2)$$

Nghiệm của bất phương trình $\frac{2}{x}+3>4$ là mọi x thuộc khoảng (0; 2). Có thể vẽ đồ thị các hàm số $f(x)=\frac{2}{x}+3$ và g(x) = 4:

Đồ thị màu đỏ của hàm số $f(x)=\frac{2}{x}+3$ nằm trên đồ thị màu xanh dương của hàm số g(x) = 4 đúng trên khoảng (0; 2).

Bất phương trình bậc nhất chứa dấu giá trị tuyệt đối

Thú vị hơn một chút là các bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. Phải xét riêng khi nào biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối dương, khi đó dấu không đổi, và khi nào biểu thức âm, khi đó dấu thay đổi. Về cơ bản, ta có hai bất phương trình trong một. Một ví dụ đơn giản:

$$|x+5|<12$$

Trước hết phải tìm giá trị làm biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối bằng 0. Giá trị này dùng để xác định các khoảng mà trên đó biểu thức đổi dấu hay không. Như vậy, trước hết ta giải phương trình

$$x+5=0$$

Nghiệm là x = −5. Giá trị này chia các giá trị của x thành hai khoảng: trên một khoảng hàm số x + 5 nhận giá trị dương, trên khoảng kia nhận giá trị âm. Cụ thể, trên khoảng (−∞; −5) ta được các số âm, còn trên nửa khoảng [−5; +∞) ta được các số dương, chính xác hơn là không âm. Để minh hoạ, dòng thứ nhất là một số thuộc khoảng thứ nhất, dòng thứ hai là một số thuộc khoảng thứ hai:

$$\begin{array}{rcl}-8+5& =& -3\\ 13+5& =& 18\end{array}$$

Điều này cho biết gì? Nếu thay x bằng một giá trị lớn hơn −5 thì giá trị tuyệt đối không làm thay đổi kết quả, vì x + 5 là số dương. Ngược lại, nếu x nhỏ hơn −5 thì x + 5 âm, và giá trị tuyệt đối biến nó thành số dương. Vì vậy trong bất phương trình phải phân biệt hai trường hợp này.

Trước hết tính kết quả trong trường hợp lấy x thuộc nửa khoảng [−5; +∞). Khi đó dấu không thay đổi, ta chỉ việc bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

$$\begin{array}{rcl}x+5& <& 12\\ x& <& 7\\ x& \in & (-\mathrm{\infty };7)\end{array}$$

Gần như đã có phần nghiệm thứ nhất. Tuy nhiên, còn phải lấy giao với khoảng mà ta đang lấy x. Ta đang xét nửa khoảng [−5; +∞), nên chẳng hạn x = −15 không thể là nghiệm ở đây, vì nó không thuộc nửa khoảng này. Vậy phải lấy giao:

$$[-5;+\mathrm{\infty })\cap (-\mathrm{\infty };7)=[-5;7)$$

Đó là phần nghiệm thứ nhất. Bây giờ tính kết quả trong trường hợp lấy x thuộc khoảng (−∞; −5). Trên khoảng này, giá trị tuyệt đối làm đổi dấu. Muốn bỏ dấu giá trị tuyệt đối, ta phải tự đổi dấu, tức là nhân biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối với −1. Ta viết lại như sau:

$$\begin{array}{rcl}|x+5|& <& 12\\ -(x+5)& <& 12\\ -x-5& <& 12\end{array}$$

Cộng 5 vào hai vế:

$$-x<17$$

Và nhân hai vế với −1:

$$x>-17$$

Ta được kết quả:

$$x\in (-17;+\mathrm{\infty })$$

Nhưng giống như trước, ta đang chọn x thuộc khoảng (−∞; −5), nên còn phải lấy giao của khoảng này với kết quả vừa tìm:

$$(-17;+\mathrm{\infty })\cap (-\mathrm{\infty };-5)=(-17;-5)$$

Bây giờ đã có cả hai phần nghiệm, chỉ cần lấy hợp:

$$x\in [-5;7)\cup (-17;-5)=(-17;7)$$

Để kiểm tra, có thể xem đồ thị của các hàm số này:

Thêm vài lời về việc khi nào dùng khoảng, khi nào dùng đoạn. Với bất đẳng thức chặt, chẳng hạn x>0, ta dùng khoảng (không lấy đầu mút), vì x không thể bằng 0. Với bất đẳng thức không chặt x ≥ 0, ta lấy cả đầu mút (đoạn hoặc nửa khoảng), vì x có thể bằng 0. Chẳng hạn, nếu thay x = 7 vào bất phương trình vừa giải, là số “vừa sát” nhưng không thuộc tập nghiệm, ta được:

$$\begin{array}{rcl}|x+5|& <& 12\\ (7+5)& <& 12\\ 12& <& 12\end{array}$$

Bất đẳng thức sai, 12 không nhỏ hơn 12.