Phương trình mũ

Một phương trình trở thành phương trình mũ khi có ẩn nằm ở số mũ. Tổng quát, có thể viết phương trình mũ dưới dạng: a^f(x) = b^g(x), trong đó a, b>0. Một ví dụ điển hình của phương trình mũ là 2^x = 8. Ở đây khá rõ ràng nghiệm là số 3, vì 2 mũ 3 bằng 8. Tiếp theo là cách làm chặt chẽ hơn về mặt toán học.

Phương trình mũ đơn giản

Khi giải phương trình mũ, rất thuận lợi nếu có thể biến đổi phương trình về dạng a^f(x) = b^g(x), trong đó a = b. Rõ ràng khi hai cơ số bằng nhau thì hai luỹ thừa bằng nhau khi các số mũ bằng nhau. Khi đó chỉ cần giải phương trình f(x) = g(x). Ví dụ trên có thể biến đổi như sau: viết số 8 dưới dạng luỹ thừa của 2 là 2^x = 2³; hai vế có cùng cơ số, nên chỉ cần cho hai số mũ bằng nhau và ta được ngay nghiệm x = 3. Có thể làm ví dụ khó hơn một chút: 2^2x = 8; sau khi biến đổi lại được 2^2x = 2³, ta giải 2x = 3, nghiệm là 1,5.

Một trường hợp đơn giản khác là khi một vế của phương trình bằng 1. Xét ví dụ sau:

$$5^{3x-2}=1$$

Trông có vẻ phức tạp, nhưng nếu biết các tính chất cơ bản của luỹ thừa thì sẽ biết rằng chỉ có hai cách để được 1: hoặc cơ số bằng 1, khi đó 1 mũ bao nhiêu cũng bằng 1, hoặc số mũ bằng 0, vì mọi số (khác 0) mũ 0 đều bằng 1. Tất nhiên ta dùng tính chất thứ hai và viết lại phương trình như sau: 5^{3x − 2} = 5⁰. Phương trình đã có dạng mà ta biết cách giải (xem đoạn trên). Chỉ cần so sánh các số mũ. Ta được phương trình 3x − 2 = 0, một phương trình bậc nhất rất đơn giản.

Lôgarit hoá hai vế

Nếu không thể đưa phương trình về cùng cơ số, có thể thử phương pháp lôgarit hoá. Cô giáo dạy Toán của tôi luôn nói: “Khi không biết làm tiếp thế nào thì cứ lôgarit hoá!”, và cô nói đúng. Nếu phương trình mũ có các cơ số khác nhau, mà không thể (hoặc không nên) đưa về cùng cơ số, hãy lôgarit hoá hai vế của phương trình. Từ phương trình ban đầu

$$a^{f(x)}=b^{g(x)}$$

ta được

$$\log a^{f(x)}=\log b^{g(x)}$$

và theo công thức tính lôgarit, ta có

$$f(x)\cdot \log a=g(x)\cdot \log b.$$

Xét ví dụ sau

$$2^x\cdot 5^{2x}=3^{x-2}$$

Các cơ số không bằng nhau và không biến đổi được, nên ta lôgarit hoá hai vế:

$$\log (2^x\cdot 5^{2x})=\log (3^{x-2})$$

Bây giờ dùng quy tắc tính lôgarit để “tách” biểu thức trong ngoặc thứ nhất

$$\log 2^x+\log 5^{2x}=\log 3^{x-2}$$

Tiếp tục dùng quy tắc tính lôgarit để “đưa” số mũ ra trước lôgarit.

$$x\cdot \log 2+2x\cdot \log 5=(x-2)\log 3$$

Nhân phá ngoặc ở vế phải:

$$x\cdot \log 2+2x\cdot \log 5=x\log 3-2\log 3$$

Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang vế trái:

$$x\cdot \log 2+2x\cdot \log 5-x\cdot \log 3=-2\log 3$$

Tiếp theo đặt nhân tử chung x:

$$x(\log 2+2\log 5-\log 3)=-2\log 3$$

Suy ra x:

$$x=\frac{-2\log 3}{\log 2+2\log 5-\log 3}$$

Thực chất đây đã là kết quả. Có thể áp dụng thêm quy tắc tính lôgarit để biến 2log 5 thành log 5² = log 25, nhưng đó thật sự là việc cuối cùng có thể làm với kết quả.

Đặt ẩn phụ

Cũng có thể giải phương trình mũ bằng cách đặt ẩn phụ. Ta minh hoạ qua ví dụ:

$$7^{2x}+7^x-6=0.$$

Đặt a = 7^x. Biến đổi phương trình ban đầu bằng cách thay 7^x bằng a. Ta được phương trình (không còn là phương trình mũ) sau:

$$a^2+a-6=0.$$

Đây là một phương trình bậc hai đơn giản. Các nghiệm của nó là 2 và −3.

Bây giờ thay các nghiệm này vào a = 7^x. Tức là 2 = 7^x. Lôgarit hoá hai vế:

$$\log 2=x\cdot \log 7$$

rồi suy ra:

$$x=\frac{\log 2}{\log 7}$$

Không cần thay nghiệm thứ hai, vì nghiệm này âm: khi thay vào sẽ phải lấy lôgarit của một số âm, mà điều đó không thể. Vậy là đã có nghiệm của phương trình mũ.

Ví dụ

Giải phương trình mũ sau:

$$2^{3x-4}=8^{2x+1}.$$

Thoạt nhìn, hai cơ số ở hai vế không bằng nhau. Thật đáng tiếc. Nhưng nhìn kĩ hơn, chắc chắn sẽ thấy phép biến đổi giúp có cùng cơ số. Thay cho 8, ta chỉ việc dùng 2³, bằng 8. Dùng công thức luỹ thừa của luỹ thừa, ta được:

$$\begin{array}{rcl}{2}^{3x-4}& =& 8^{2x+1}\\ 2^{3x-4}& =& 2^{3\cdot (2x+1)}\\ 2^{3x-4}& =& 2^{6x+3}\end{array}$$

Đến đây các cơ số đã bằng nhau, và có thể giải phương trình bậc nhất đơn giản 3x − 4 = 6x + 3:

$$\begin{array}{rcl}3x-4& =& 6x+3\\ -3x& =& 7\\ x& =& -\frac{7}{3}\end{array}$$

Giải phương trình mũ sau:

$$5^x\cdot 2^x={100}^{x-1}.$$

Như thường lệ, các cơ số không bằng nhau. Nhưng có lẽ ai cũng đoán được rằng có thể biến đổi chúng. Ở vế trái, áp dụng công thức nhân hai luỹ thừa cùng số mũ, còn ở vế phải áp dụng công thức như ở ví dụ trước và biến 100^{x − 1} thành 10^{2(x − 1)}:

$$\begin{array}{rcl}{5}^x\cdot 2^x& =& {100}^{x-1}\\ {10}^x& =& {10}^{2(x-1)}\\ {10}^x& =& {10}^{2x-2}\end{array}$$

Lại được cùng cơ số, và có thể giải phương trình bậc nhất thông thường:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 2x-2\\ -x& =& -2\\ x& =& 2\end{array}$$

Giải phương trình mũ:

$$3^x+3^{x+1}=108.$$

Như mọi khi, trước hết phải đưa về cùng cơ số. Ở đây ta đặt nhân tử chung 3^x ở vế trái. Sau đó cộng biểu thức trong ngoặc và được một phương trình đơn giản.

$$\begin{array}{rcl}{3}^x+3^{x+1}& =& 108\\ 3^x(1+3^1)& =& 108\\ 4\cdot 3^x& =& 108\\ 3^x& =& 27\end{array}$$

Đã biến đổi xong vế trái, đến lúc biến đổi vế phải. Khá rõ ràng đó là luỹ thừa bậc ba của 3:

$$\begin{array}{rcl}{3}^x& =& 27\\ 3^x& =& 3^3\end{array}$$

Chỉ còn bước cuối cùng: các cơ số bằng nhau, nên cho hai số mũ bằng nhau:

$$x=3$$

Giải phương trình mũ sau:

$$4^{2x}-6\cdot 4^x+8=0.$$

Trong trường hợp này, ta cố gắng đưa phương trình mũ về một phương trình bậc hai thông thường. Cách tốt nhất là đặt ẩn phụ 4^x = a:

$$a^2-6a+8=0$$

Bây giờ đã có một phương trình bậc hai quen thuộc, ta tính biệt thức và các nghiệm:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{\Delta }& =& 36-4\cdot 8\\ a_{1,2}& =& \frac{(6\pm 2)}{2}\\ a_1& =& 4\\ a_2& =& 2\end{array}$$

Các kết quả trung gian này còn phải thay trở lại vào ẩn phụ. Kết quả thứ nhất:

$$\begin{array}{rcl}{4}^x& =& 4\\ x& =& 1\end{array}$$

Kết quả thứ hai:

$$\begin{array}{rcl}{4}^x& =& 2\\ 4^x& =& 4^{\frac{1}{2}}\\ x& =& \frac{1}{2}\end{array}$$