Phương trình là gì

Phương trình là một trong những khái niệm cơ bản của toán học và là một trong những công cụ giúp cả toán học vận hành.

Ví dụ mở đầu

Phương trình gồm vế trái, dấu bằng và vế phải. Một phương trình tầm thường có thể như sau:

$x = 2$

Vế trái là biến x, tiếp theo là dấu bằng, vế phải là số 2. Phương trình này rất đơn giản và cho biết giá trị của biến x bằng 2. Biến x thường biểu thị một đại lượng cần tìm, chẳng hạn số cúc áo trên một chiếc áo sơ mi hay tiền lương của một nhân viên.

Tuy nhiên, phương trình dạng này thường là kết quả cần tìm hơn là thứ có sẵn trong đề bài. Trong thực tế, ta thường gặp phương trình phức tạp hơn. Chẳng hạn, biết tổng thu nhập của 5 nhân viên và cần tìm thu nhập của một nhân viên (giả sử ai cũng được trả như nhau).

Ví dụ, biết rằng 5 giáo viên có tổng lương 50 triệu đồng mỗi tháng. Lương của một giáo viên là bao nhiêu? Ta lập phương trình như sau: gọi x là lương của một giáo viên. Khi đó ta được phương trình:

$5 x = 50.000 .000$

Phương trình này là cách viết toán học của đề bài “tổng lương của 5 giáo viên là 50.000.000”. Mục tiêu là tìm lương của một giáo viên, tức là tìm giá trị x = ?. Tạm dùng trước các phép biến đổi tương đương, ta chia hai vế cho 5. Nếu 5 giáo viên nhận 50.000.000 thì một giáo viên nhận một phần năm số tiền đó. Kết quả là

$x = 50.000 .000 / 5$

và sau khi chia

$x = 10.000 .000 .$

Định nghĩa phương trình

Để định nghĩa phương trình, ta cần biết hàm số là gì. Khi đã biết hàm số, có thể hình dung phương trình là cách viết đẳng thức giữa hai hàm số:

$f (x) = g (x)$

Đây là dạng tổng quát của phương trình một ẩn. Vế trái là hàm số f, vế phải là hàm số g. Nhiệm vụ là tìm nghiệm của phương trình, tức là các giá trị x mà tại đó hai hàm số f và g có cùng giá trị.

Như vậy, ta cần tìm các giá trị cụ thể của x, kí hiệu là x₁, sao cho

$f (x_{1}) = g (x_{1})$

Xét phương trình 2x = −4x + 6. Khi đó f(x) = 2x và g(x) = −4x + 6. Ta tìm các giá trị x mà tại đó hàm số f có cùng giá trị với hàm số g. Giải phương trình bằng các phép biến đổi tương đương, ta được:

$\begin{array}{rcl} 2 x & = & - 4 x + 6 \\ 2 x + 4 x & = & - 4 x + 4 x + 6 \\ 6 x & = & 6 \\ x & = & 1 \end{array}$

Nghiệm của phương trình là x = 1. Tại giá trị này, cả hai hàm số phải có cùng giá trị. Thay số 1 vào hàm số f, ta được

$f (1) = 2 \cdot 1 = 2$

Giá trị của hàm số f tại điểm 1 bằng 2. Còn hàm số g thì sao? Thay số 1 vào:

$g (1) = - 4 \cdot 1 + 6 = - 4 + 6 = 2$

Ta lại được 2. Vậy số 1 là nghiệm của phương trình. Đây cũng là nghiệm duy nhất của phương trình trên tập số thực. Nếu thay một giá trị khác vào hai hàm số, ta sẽ được các kết quả khác nhau. Chẳng hạn với số 5:

$\begin{array}{rcl} f (5) & = & 2 \cdot 5 = 10 \\ g (5) & = & - 4 \cdot 5 + 6 = - 20 + 6 = - 14 \end{array}$

Ý nghĩa hình học

Nghiệm của phương trình có ý nghĩa hình học đẹp và rõ ràng. Nếu vẽ đồ thị của các hàm số ở vế trái và vế phải thì hai đồ thị cắt nhau đúng tại những vị trí mà phương trình có nghiệm.

Trở lại phương trình 2x = −4x + 6. Hàm số ở vế trái là f(x) = 2x, hàm số ở vế phải là g(x) = −4x + 6. Ta biết nghiệm của phương trình là x = 1, nên đồ thị hai hàm số này phải cắt nhau tại điểm có hoành độ 1. Dưới đây là đồ thị của hai hàm số:

Đồ thị hàm số f(x)=2x (đồng biến) và g(x)=-4x+6 (nghịch biến)

Hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm, điểm này có toạ độ (1; 2). Toạ độ thứ nhất là giá trị x, tức nghiệm của phương trình. Toạ độ thứ hai là giá trị y, tức giá trị chung của hai hàm số khi thay số 1 vào.

Như vậy, nghiệm của phương trình là hoành độ của tất cả các giao điểm của hai đồ thị ở vế trái và vế phải. Ta thường biến đổi phương trình sao cho vế phải bằng 0, tức là hàm hằng g(x) = 0. Khi đó ta tìm các điểm mà đồ thị hàm số ở vế trái cắt trục hoành. Phương trình 2x = −4x + 6 ở trên có thể biến đổi để vế phải bằng 0 như sau:

$\begin{array}{rcl} 2 x & = & - 4 x + 6 \\ 6 x & = & 6 \\ 6 x - 6 & = & 0 \end{array}$

Nếu vẽ đồ thị hàm số ở vế trái…

Đồ thị hàm số f(x)=6x-6

… ta thấy đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ 1. Dù đã biến đổi phương trình để vế phải bằng 0, ta vẫn được cùng một kết quả, vẫn là số 1.

Số nghiệm của phương trình

Từ ý nghĩa hình học của phương trình, có thể suy ra một phương trình có thể có bao nhiêu nghiệm khác nhau. Nhờ đó dễ dàng trả lời các câu hỏi như: phương trình nào cũng có nghiệm không? Phương trình có thể có nhiều hơn một nghiệm không? Phương trình có thể có vô số nghiệm không?

Vô nghiệm

Ta xét lần lượt. Có phương trình nào vô nghiệm không? Câu hỏi này quy về: có hai đồ thị hàm số nào không bao giờ cắt nhau không? Tất nhiên là có. Nếu chỉ xét phương trình bậc nhất, có đồ thị là các đường thẳng, thì chỉ cần lấy hai đường thẳng song song. Chẳng hạn:

$x + 1 = x + 2$

Chỉ cần suy luận thông thường cũng thấy x + 1 không bao giờ bằng x + 2. Vẽ đồ thị, ta được:

Đồ thị hàm số y=x+1 và y=x+2

Hai đồ thị là hai đường thẳng song song nên không bao giờ cắt nhau. Do đó phương trình lập từ chúng vô nghiệm. Có thể biến đổi phương trình như sau:

$\begin{array}{rcl} x + 1 & = & x + 2 \\ x - x & = & 2 - 1 \\ 0 x & = & 1 \\ 0 & \neq & 1 \end{array}$

Vậy phương trình vô nghiệm.

Có thể nghĩ ra nhiều phương trình vô nghiệm khác, chẳng hạn phương trình x² = x − 1. Đồ thị của hai hàm số không bao giờ cắt nhau:

Đồ thị hàm số bậc hai y=x^2 và hàm số bậc nhất y=x-1

Nhiều nghiệm

Phương trình có thể có nhiều hơn một nghiệm (nhưng vẫn hữu hạn) không? Ta lại quy về câu hỏi: có hai đồ thị hàm số nào có hữu hạn giao điểm và số giao điểm lớn hơn 1 không?

Chắc chắn là có. Ví dụ cuối cùng của mục trước là phương trình với một hàm số bậc hai và một hàm số bậc nhất. Có thể tịnh tiến đường thẳng trên hình trước sao cho nó cắt parabol tại đúng hai điểm. Chỉ cần thay y = x − 1 bằng hàm số y = x.

Đồ thị hàm số bậc hai y=x^2 và hàm số bậc nhất y=x

Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm. Có thể giải phương trình như sau:

$\begin{array}{rcl} x^{2} & = & x \\ x^{2} - x & = & 0 \\ x \cdot (x - 1) & = & 0 \\ x_{1} & = & 0 \\ x_{2} & = & 1 \end{array}$

Vô số nghiệm

Có phương trình nào có vô số nghiệm không? Tức là có hai đồ thị nào cắt nhau tại vô số điểm không? Có. Chỉ cần lấy một hàm số tuần hoàn và chọn một đường thẳng thích hợp cắt đồ thị của nó. Hàm số tuần hoàn điển hình là hàm số sin. Hàm số sin có tập giá trị là đoạn [−1; 1] và lặp lại tuần hoàn trong khoảng giá trị đó.

Chỉ cần đặt sin(x) = a, trong đó a thuộc tập giá trị. Một ví dụ cụ thể: sin(x) = 0,5. Đồ thị của hai hàm số:

Đồ thị hàm số lượng giác y=sin(x) và hàm số bậc nhất y=0,5, các giao điểm được đánh dấu màu xanh lá

Trên hình, đường thẳng cắt đồ thị hàm số sin tại nhiều điểm. Đồ thị hàm số sin tiếp tục dao động cả về bên phải lẫn bên trái, nên ở cả hai phía đường thẳng còn cắt nó vô số lần.

Hai vế là cùng một hàm số

Có trường hợp nào thay x bằng bất kì giá trị nào trong tập xác định của các hàm số thì phương trình cũng đúng không? Điều này chỉ xảy ra khi hai hàm số giống nhau, hoặc khi có thể biến đổi hàm số này thành hàm số kia. Ví dụ:

$2 x + 4 = 2 \cdot (x + 2)$

Thoạt nhìn, hai vế là hai hàm số khác nhau, nhưng nếu nhân phá ngoặc ở vế phải, ta được hai hàm số giống nhau:

$2 x + 4 = 2 x + 4$

Tập nghiệm của phương trình này bằng tập xác định của các hàm số, tức là tập số thực. Phương trình như vậy có thể biến đổi về dạng 0 = 0.

$\begin{array}{rcl} 2 x + 4 & = & 2 x + 4 / - 2 x \\ 4 & = & 4 / - 4 \\ 0 & = & 0 \end{array}$

« Bài trước: Phương trình và bất phương trình

Bài tiếp: Biến đổi phương trình »