Phương trình dạng x mũ n bằng a

Phương trình dạng xⁿ = a là một phương trình đại số.

Định nghĩa

Dạng tổng quát của phương trình này như sau:

$$a{x}^n+b=0,$$

trong đó a, b là các số thực hoặc số phức tuỳ ý. Ngoài ra, giả sử a, b ≠ 0 và n là số nguyên dương.

Các trường hợp đặc biệt:

• n = 1: Phương trình có dạng ax + b = 0, đó là phương trình bậc nhất.
• n = 2: Phương trình có dạng ax² + b = 0, đó là phương trình bậc hai.

Mọi phương trình dạng này đều có thể đưa về dạng có hệ số của xⁿ bằng 1 bằng cách chia hai vế cho a. Khi đó phương trình có dạng:

$$x^n+\frac{b}{a}=0$$

Có thể đặt thêm ẩn phụ, viết c thay cho phân số b/a. Vậy nếu c = b/a thì phương trình có dạng:

$$x^n+c=0$$

Cách giải

Trước hết đưa phương trình về dạng có hệ số của xⁿ bằng 1, sau đó chuyển c sang vế phải, ta được phương trình dạng

$$x^n=-c$$

Tiếp theo, lấy căn bậc n hai vế của phương trình.

$$x=\sqrt[n]{-c}$$

Sau đó giải phương trình này bằng công thức khai căn số phức. Công thức như sau:

$$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{|z|}[\cos (\frac{\alpha }{n}+\frac{2k\pi }{n})+i\sin (\frac{\alpha }{n}+\frac{2k\pi }{n})]$$

trong đó

$$z=|z|(\cos \alpha +i\sin \alpha )$$

và công thức đúng với k = 0, 1, …, n − 1.

Ví dụ: tìm nghiệm của phương trình x³ − 4 = 0. Sau khi chuẩn hoá và khai căn, phương trình có dạng:

$$x=\sqrt[3]{4}$$

Vì −c = 4 không có phần ảo nên góc α bằng 0 và có thể bỏ đi trong công thức. Nghiệm thứ k của phương trình có dạng:

$$x_k=\sqrt[3]{4}[\cos \left(\frac{2k\pi }{3}\right)+i\sin \left(\frac{2k\pi }{3}\right)]$$

Bây giờ áp dụng công thức này với k = 0, 1, 2. Với k = 0 ta được:

$$x_0=\sqrt[3]{4}(\cos 0+i\sin 0)=\sqrt[3]{4}$$

Với k = 1:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \sqrt[3]{4}(\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3})\\ & =& \sqrt[3]{4}(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})\\ & =& \frac{1}{2}\sqrt[3]{4}(-1+i\sqrt{3})\end{array}$$

Với k = 2:

$$\begin{array}{rcl}{x}_2& =& \sqrt[3]{4}(\cos \frac{4\pi }{3}+i\sin \frac{4\pi }{3})\\ & =& \sqrt[3]{4}(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})\\ & =& -\frac{1}{2}\sqrt[3]{4}(1+i\sqrt{3})\end{array}$$

Vậy là xong, ta có ba nghiệm x₀, x₁ và x₂.