Phương trình lượng giác

Phương trình lượng giác là phương trình chứa một hàm số lượng giác, tức là sin, côsin, tang hoặc côtang.

Phương trình lượng giác cơ bản

Xét phương trình sin x = 0. Phương trình này đúng với những giá trị x nào? Khi nào sin bằng 0? Trước hết hãy xem đồ thị:

Ta thấy sin x bằng 0 khá thường xuyên, cụ thể tại các giá trị −π, 0, π, 2π và nhiều giá trị khác. Vì sin là hàm số tuần hoàn nên các nghiệm của phương trình cách nhau đều đặn, trong trường hợp này mỗi khoảng cách dài π. Vì vậy có thể viết tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình, kí hiệu là R, như sau:

$$R=\{K\cdot \pi |K\in \mathbb{Z}\}$$

Đó là tất cả các số dạng Kπ, trong đó K là số nguyên. Như vậy ta đã mô tả tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình sin x = 0.

Nhắc lại rằng sin và côsin có tập giá trị là đoạn [−1; 1], nên phương trình sin x = 2 vô nghiệm, vì không thể tìm được x nào để biểu thức sin x có giá trị lớn hơn 1. Tất nhiên phương trình 3 · sin x = 2 thì có nghiệm, vì có thể chia hai vế cho 3, và vế phải sẽ là một số nhỏ hơn 1. Khi đó ta tìm nghiệm của phương trình sin x = 2/3.

Giải một ví dụ đơn giản

Các phương trình lượng giác đơn giản được giải bằng cách đọc giá trị, chẳng hạn từ đồ thị hoặc từ đường tròn lượng giác, rồi xác định chu kì để cộng vào kết quả. Ví dụ, giải phương trình

$$\sin x=\frac{1}{2}$$

Đồ thị hàm số sin ở phía trên, nên ta xem khi nào đường cong có giá trị $\frac{1}{2}$. Đó là tại 1/6π và 5/6π. Rất nên học thuộc giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, thiếu chúng thì nhìn đồ thị cũng không giúp được gì.

Bây giờ phải xác định chu kì để biết cách lập tập hợp tất cả các nghiệm. Hàm số sin có chu kì 2π: nhìn đồ thị sẽ thấy cứ sau mỗi 2π, hàm số lại lặp lại.

Nếu 1/6π là một nghiệm của phương trình thì mọi số 1/6π + 2Kπ, trong đó K là số nguyên, cũng phải là nghiệm, vì tại đó hàm số sin có cùng giá trị. Cách viết 2K nghĩa là ta chỉ lấy các bội chẵn: thay K bằng một số nguyên bất kì rồi nhân với 2, ta được một số chẵn. Với nghiệm thứ hai, 5/6π, cũng hoàn toàn tương tự. Tại các điểm 5/6π, 5/6π + 14π và 5/6π − 82π, hàm số sin x có cùng giá trị, nên mọi 5/6π + 2Kπ đều là nghiệm của phương trình.

Viết tập nghiệm R, là hợp của hai kết quả trên:

$$R=\{\frac{1}{6}\pi +2K\pi |K\in \mathbb{Z}\}\cup \{\frac{5}{6}\pi +2K\pi |K\in \mathbb{Z}\}$$

Về mặt hình học, các nghiệm là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số sin x (đồ thị màu đỏ) và hàm số $y=\frac{1}{2}$ (đồ thị màu xanh lá).

Chẳng hạn, nếu thay K = 0, ta được các nghiệm:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \frac{1}{6}\pi +2K\pi =\frac{1}{6}\pi +2\cdot 0\cdot \pi =\frac{1}{6}\pi \\ x_2& =& \frac{5}{6}\pi +2K\pi =\frac{5}{6}\pi +2\cdot 0\cdot \pi =\frac{5}{6}\pi \end{array}$$

Tức là x₁ = 1/6π và x₂ = 5/6π. Trên hình, chúng ứng với các điểm B và C, vì hoành độ của chúng lần lượt là 1/6π và 5/6π. Nếu thay K = 1, ta được các điểm D và E.

Đặt ẩn phụ

Nếu trong hàm số có một biểu thức phức tạp hơn, có thể đặt ẩn phụ, tức là thay thế biểu thức đó. Chẳng hạn, muốn giải phương trình sin 2x = 1, ta đặt a = 2x, rồi giải phương trình dạng sin a = 1 đúng như cách đã trình bày ở mục trước. Thông thường, ta lấy đối số của hàm số, ở đây là 2x, rồi thay nó bằng một ẩn khác. Có thể đặt tên tuỳ ý, ở đây ta chọn tên a. Hoàn toàn có thể đặt q = 2x hoặc cam = 2x rồi viết sincam = 1.

Như vậy, đặt ẩn phụ giúp đơn giản hoá biểu thức đang tính. Việc a thực chất bằng 2x sẽ được xử lí sau.

Bây giờ ta giải phương trình sin a = 1, trong đó a là ẩn. Ta tìm khi nào sin bằng 1. Kết quả là sin bằng 1 tại các giá trị π/2 + 2Kπ. Vậy nghiệm của phương trình sin a = 1 là các phần tử của tập hợp

$$R=\{\frac{\pi }{2}+2K\pi |K\in \mathbb{Z}\}.$$

Cuối cùng phải nhớ đến ẩn phụ, tức là trở lại ẩn ban đầu. Ta biết nghiệm của phương trình sin a = 1 là các phần tử của tập R ở trên. Nhưng ta cần nghiệm của một phương trình khác, sin 2x = 1. Đồng thời ta biết a = 2x.

Thử lấy một nghiệm cụ thể trong tập nghiệm R, chẳng hạn với K = 1 ta được nghiệm a = π/2 + 2π. Đây là một nghiệm của phương trình sin a = 1. Vì a = 2x nên cũng có 2x = π/2 + 2π (chỉ cần viết 2x thay cho a).

Nhưng ta không cần 2x mà cần giá trị của x, nên chia hai vế cho 2. Ta được x = π/4 + π. Đó là một nghiệm cụ thể của phương trình sin 2x = 1.

Muốn có tất cả các nghiệm, phải làm như vậy với mọi phần tử của tập R. Ta lập phương trình như sau:

$$2x=\frac{\pi }{2}+2K\pi$$

rồi tìm x, tức là chia hai vế cho 2:

$$x=\frac{\pi }{4}+K\pi$$

Đó là nghiệm cần tìm. Viết lại dưới dạng tập hợp, kí hiệu là R':

$$R^{\prime }=\{\frac{\pi }{4}+K\pi |K\in \mathbb{Z}\}$$

Lại có thể kiểm tra kết quả bằng đồ thị. Màu đỏ là đồ thị hàm số sin 2x, màu xanh lá là hàm số y = 1.

Thay K = 0, ta được x = π/4, ứng với điểm C. Thay K = 2, ta được x = π/4 + 2π, ứng với điểm E.

Công thức

Khi giải phương trình lượng giác, thường phải dùng nhiều công thức khác nhau mà bạn nên biết. Một số là công thức cơ bản, một số phức tạp hơn. Các công thức lượng giác đã được chuyển sang một trang riêng, hãy xem ở đó.

Ví dụ

1. Giải phương trình sin(3x − π/2) = 0.

   Đặt ẩn phụ đơn giản a = 3x − π/2 rồi giải phương trình sin a = 0. Ta đã biết sin bằng 0 khi a = Kπ. Trở lại ẩn ban đầu và giải phương trình:

   $$3x-\frac{\pi }{2}=K\pi$$

   Trước hết chuyển π/2 sang vế phải, tức là cộng π/2 vào hai vế:

   $$3x=K\pi +\frac{\pi }{2}$$

   Rồi chia hai vế cho 3:

   $$x=\frac{K\pi }{3}+\frac{\pi }{6}$$

   Vậy tập nghiệm là tập R₁, định nghĩa như sau:

   $$R_1=\{\frac{K\pi }{3}+\frac{\pi }{6}|K\in \mathbb{Z}\}$$

   Lại xem hình:

   

   Với K = 1 ta được x = π/3 + π/6 = π/2, tức là điểm E.

2. Giải phương trình cos²x − sin x = 1.

   Trước hết dùng công thức để thay cos² x bằng 1 − sin² x. Thay vào phương trình, ta được:

   $$\begin{array}{rcl}1-{\sin }^{2}x-\sin x& =& 1\\ {\sin }^{2}x+\sin x& =& 0\end{array}$$

   Bây giờ đặt nhân tử chung sin x:

   $$\sin x(\sin (x)+1)=0$$

   Vế trái đã ở dạng tích và vế phải bằng 0, nên ta giải riêng các phương trình sin x = 0 và sin(x) + 1 = 0, vì vế trái bằng 0 khi ít nhất một thừa số bằng 0.

   Phương trình sin x = 0 đã giải nhiều lần, nghiệm là các x có dạng Kπ, trong đó K là số nguyên.

   Phương trình thứ hai, sin(x) + 1 = 0, chuyển thành phương trình sin(x) = −1. Sin bằng −1 tại các giá trị 3/2π + 2Kπ.

   Tất cả các phần tử của tập nghiệm R₂ có được bằng cách lấy hợp.

   $$R_2=\{\frac{3}{2}\pi +2K\pi |K\in \mathbb{Z}\}\cup \{K\pi |K\in \mathbb{Z}\}$$

   Hình vẽ:

   

   Các điểm A, C, D và F có hoành độ là bội của π, nên tập bên phải trong hợp trên mô tả các điểm này. Còn nếu trong tập bên trái thay K = 0, ta được x = 3π/2, ứng với điểm E; thay K = −1, ta được x = 3π/2 − 2π = −π/2, ứng với điểm B.

3. Giải phương trình cos² x − sin²x + cos x = 0.

   Ở bước đầu, áp dụng công thức sin²x = 1 − cos²x để thay bình phương của sin:

   $$\begin{array}{r}{\cos }^{2}x-(1-{\cos }^{2}x)+\cos x=0\\ {\cos }^{2}x-1+{\cos }^{2}x+\cos x=0\end{array}$$

   Bước tiếp theo, thu gọn:

   $$2{\cos }^{2}x+\cos x-1=0$$

   Cuối cùng đặt ẩn phụ a = cos x.

   $$2a^2+a-1=0$$

   Phương trình này giải như một phương trình bậc hai đơn giản. Kết quả:

   $$a_1=-1,a_2=\frac{1}{2}$$

   Cuối cùng trở lại ẩn ban đầu, giải hai phương trình cos x = −1 và $\cos x=\frac{1}{2}$, rồi lấy hợp các tập nghiệm. Việc này đơn giản và đã được trình bày ở trên.

4. Giải phương trình sin²x − cos²x = 1.

   Trước hết áp dụng công thức quen thuộc để biểu diễn côsin qua sin. Ta được:

   $$2{\sin }^{2}x=2$$

   Chia hai vế cho 2 rồi trừ đi 1:

   $${\sin }^{2}x-1=0$$

   Bây giờ áp dụng hằng đẳng thức a² − b² = (a − b)(a + b):

   $$(\sin (x)-1)\cdot (\sin (x)+1)=0$$

   Tích của hai biểu thức bằng 0 khi ít nhất một trong hai biểu thức bằng 0. Ta đã biết khi nào sin x = 1 và khi nào sin x = −1. Tập nghiệm của phương trình lượng giác là:

   $$R_4=\{\pi /2+2K\pi |K\in \mathbb{Z}\}\cup \{3\pi /2+2K\pi |K\in \mathbb{Z}\}=\{\pi /2+K\pi |K\in \mathbb{Z}\}$$

   Hình vẽ: