Bất phương trình bậc hai

Bất phương trình bậc hai có dạng tổng quát: ax² + bx + c > 0 hoặc ax² + bx + c < 0, trong đó a, b, c là các số thực tuỳ ý, a ≠ 0. Tất nhiên, thay cho “lớn hơn” và “nhỏ hơn”, cũng có thể dùng “lớn hơn hoặc bằng” và “nhỏ hơn hoặc bằng”.

Hệ số a dương

Bất phương trình như vậy giải tương tự như phương trình bậc hai thông thường: trước hết tính biệt thức, rồi từ kết quả suy ra các bước tiếp theo. Nếu biệt thức dương thì phương trình tương ứng có hai nghiệm thực. Nghiệm của phương trình là điểm trên trục hoành mà tại đó đồ thị hàm số ax² + bx + c cắt trục hoành. Hai giao điểm này chia trục hoành thành ba khoảng.

Ta thử giải bất phương trình 2x² − 7x + 3 < 0. Vẽ đồ thị hàm số 2x² − 7x + 3, ta được:

Đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm: $x_1=\frac{1}{2}$ và x₂ = 3. Nếu giải phương trình bậc hai thông thường, ta cũng được kết quả này, vì biệt thức của phương trình là

$$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=(-7{)}^2-4\cdot 2\cdot 3=49-24=25$$

Khi đó các nghiệm được tính như sau:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}=\frac{7-5}{4}=\frac{1}{2}\\ x_2& =& \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}=\frac{7+5}{4}=3\end{array}$$

Hai nghiệm này chia đồ thị hàm số 2x² − 7x + 3 thành ba khoảng.

• $(-\mathrm{\infty };\frac{1}{2})$: trên khoảng này các giá trị dương (đồ thị nằm “trên” trục hoành, phần màu xanh dương của đồ thị)
• $(\frac{1}{2};3)$: trên khoảng này các giá trị âm (đồ thị nằm “dưới” trục hoành, phần màu đỏ của đồ thị)
• (3; +∞): trên khoảng này các giá trị lại dương, phần màu xanh dương còn lại của đồ thị.

Lưu ý rằng ta dùng dấu ngoặc tròn, kí hiệu khoảng (không chứa đầu mút). Điều đó có nghĩa là các số 3 và $\frac{1}{2}$ không thuộc khoảng $(\frac{1}{2};3)$. Lí do là tại điểm x = 3 hàm số có giá trị bằng 0, mà ta cần khoảng mà trên đó các giá trị nhỏ hơn 0.

Bây giờ đã có đủ thông tin để tìm nghiệm của bất phương trình 2x² − 7x + 3 < 0. Câu hỏi là: khi nào các giá trị của hàm số 2x² − 7x + 3 nhỏ hơn 0? Chúng nhỏ hơn 0 trên khoảng $(\frac{1}{2};3)$, phần màu đỏ của đồ thị.

Có thể giải tiếp các bất phương trình sau:

• 2x² − 7x + 3 ≤ 0: bất phương trình này khác bất phương trình trước ở chỗ có ≤ thay cho <. Kết quả giống như trường hợp trước, chỉ khác là thay khoảng bằng đoạn. Kết quả là đoạn $[\frac{1}{2};3]$, vì tại các điểm $\frac{1}{2}$ và 3 hàm số 2x² − 7x + 3 có giá trị bằng 0, mà lần này ta tìm khi nào hàm số nhỏ hơn hoặc bằng 0. Đừng quên rằng trong bất phương trình có dấu ≤.

• 2x² − 7x +3 > 0: kết quả là các “phần màu xanh dương” của đồ thị. Phải lấy hợp của các khoảng tìm được, vì hàm số dương cả trên khoảng $(-\mathrm{\infty };\frac{1}{2})$ lẫn trên khoảng (3; +∞). Tập hợp cần tìm là $(-\mathrm{\infty };\frac{1}{2})\cup (3;+\mathrm{\infty })$.

• 2x² − 7x +3 ≥ 0: ta lại chỉ thay > bằng ≥. Kết quả là tập hợp như trên, chỉ thêm các phần tử $\frac{1}{2}$ và 3, tức là lấy cả đầu mút: $(-\mathrm{\infty };\frac{1}{2}]\cup [3;+\mathrm{\infty })$.

Hệ số a âm

Điều gì xảy ra nếu đổi bất phương trình trên thành −x² + x + 2 < 0? Thay đổi chính là ở hệ số a, bây giờ bằng a = −1. Ở bất phương trình trước có 2x², hệ số của x² dương, còn ở đây thì âm. Tốt nhất là xem đồ thị:

Đồ thị thay đổi chủ yếu ở chỗ không còn có hình chữ “U” mà có hình một ngọn đồi. Nhưng cách làm không thay đổi gì. Lại có ba khoảng:

• (−∞; −1): các giá trị âm.
• (−1; 2): các giá trị dương.
• (2; +∞): các giá trị âm.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình −x² + x + 2 < 0 là hợp của các khoảng (−∞; −1) ∪ (2; +∞).

Giải không cần vẽ đồ thị

Không phải lúc nào cũng cần vẽ đồ thị! Mọi cách giải ở trên đều dựa vào việc vẽ đồ thị, từ đó đọc ra giao điểm với trục hoành và biết trên mỗi khoảng các giá trị dương hay âm. Nhưng cũng có thể làm cách khác.

Với bất phương trình bậc hai 3x² − 4x + 1 < 0, chỉ cần giải phương trình bậc hai 3x² − 4x + 1 = 0 theo cách thông thường. Tính biệt thức:

$$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=(-4{)}^2-4\cdot 3\cdot 1=4$$

Tiếp theo tính các nghiệm của phương trình bậc hai:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}=\frac{4-2}{6}=\frac{1}{3}\\ x_2& =& \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}=\frac{4+2}{6}=1\end{array}$$

Ta biết đồ thị cắt trục hoành tại các điểm $x_1=\frac{1}{3}$ và x₂ = 1. Ta có ba khoảng: $(-\mathrm{\infty };\frac{1}{3})$, $(\frac{1}{3};1)$, (1; +∞). Câu hỏi là làm sao biết trên mỗi khoảng hàm số f(x) = 3x² − 4x + 1 nhận giá trị dương hay âm.

Để biết, ta thay vào hàm số f(x) = 3x² − 4x + 1 một số thuộc khoảng đó. Nếu kết quả dương thì hàm số dương trên cả khoảng. Tương tự với giá trị âm.

• Chọn một số bất kì thuộc khoảng $(-\mathrm{\infty };\frac{1}{3})$, chẳng hạn số 0, vì dễ tính. Thay số 0 vào hàm số f: f(0) = 3 · 0² − 4 · 0 + 1 = 1. Số 1 dương, vậy trên khoảng này các giá trị dương.

• Chọn một số thuộc khoảng $(\frac{1}{3};1)$: có lẽ tốt nhất là một phần hai:

  $$f(\frac{1}{2})=3\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2-4\cdot \frac{1}{2}+1=3\cdot \frac{1}{4}-2+1=-\frac{1}{4}$$

  Số $-\frac{1}{4}$ âm, vậy trên khoảng này mọi giá trị đều âm.

• Trên khoảng cuối cùng, các giá trị có cùng dấu với khoảng đầu tiên, tức là dương. Dấu luôn xen kẽ: dương – âm – dương hoặc âm – dương – âm. Nhưng cũng có thể tính lại cho chắc. Chọn một số thuộc khoảng (1; +∞), chẳng hạn 10:

  $$f(10)=3\cdot {10}^2-4\cdot 10+1=300-40+1=261$$

  Đây là số dương, vậy mọi giá trị trên khoảng này đều dương.

Còn phải kết luận nghiệm của bất phương trình. Bất phương trình có dạng: 3x² − 4x + 1 < 0. Từ các thông tin trên, ta biết hàm số 3x² − 4x + 1 có giá trị âm trên khoảng $(\frac{1}{3};1)$. Để kiểm tra, có thể xem đồ thị:

Biệt thức bằng 0

Khi giải phương trình bậc hai, biệt thức có thể bằng 0. Điều này xảy ra khi đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành tại một điểm. Ta minh hoạ bằng bất phương trình 3x² + 6x + 3 ≥ 0. Biệt thức bằng 0:

$$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=6^2-4\cdot 3\cdot 3=36-36=0$$

Đồ thị như sau:

Đồ thị tiếp xúc với trục hoành tại một điểm duy nhất x₁ = −1, phần còn lại của đồ thị nằm trên trục hoành, ở miền giá trị dương. Điều đó có nghĩa là tập nghiệm của bất phương trình 3x² + 6x + 3 ≥ 0 là toàn bộ tập số thực, vì thay x bằng số thực nào thì giá trị cũng lớn hơn hoặc bằng 0.

Biệt thức âm

Nếu biệt thức âm thì đồ thị không bao giờ cắt trục hoành. Điều này thể hiện thế nào trong bất phương trình? Đồ thị hoặc nằm hoàn toàn trên trục hoành, hoặc nằm hoàn toàn dưới trục hoành. Nếu sửa bất phương trình trên thành 3x² + 6x + 4 > 0 (ta đã đổi dấu ≥ thành > và đổi số 3 thành số 4), thì biệt thức bằng:

$$\mathrm{\Delta }=6^2-4\cdot 3\cdot 4=-12$$

và đồ thị như sau:

Đồ thị nằm hoàn toàn trên trục hoành: thay x bằng số thực nào thì giá trị cũng dương. Vậy tập nghiệm của bất phương trình lại là tập số thực.