Bất phương trình lượng giác

Bất phương trình lượng giác trông giống phương trình lượng giác, chỉ khác là thay cho dấu bằng có dấu <, >, ≤ hoặc ≥. Xét chẳng hạn bất phương trình sau:

$$\sin x>\frac{1}{2}$$

Ta tìm mọi x mà sin lớn hơn một phần hai. Một phần công việc đã xong. Phương trình $\sin x=\frac{1}{2}$ đã được giải trong bài về phương trình lượng giác, và trên một vòng ta được hai nghiệm: $\frac{\pi }{6}$ và $\frac{5\pi }{6}$. Hai số này đóng vai trò ranh giới. Ở một chỗ giữa chúng, sin lớn hơn một phần hai, ở chỗ khác thì nhỏ hơn. Còn phải xác định ở đâu.

Trên đường tròn lượng giác

Dễ thấy nhất là trên đường tròn lượng giác. Sin của một góc là tung độ của điểm trên đường tròn, nên bất phương trình $\sin x>\frac{1}{2}$ thực chất hỏi: những điểm nào của đường tròn nằm phía trên đường thẳng $y=\frac{1}{2}$?

Đường thẳng màu xanh dương cắt đường tròn tại hai điểm, ứng với các góc $\frac{\pi }{6}$ và $\frac{5\pi }{6}$. Phía trên đường thẳng chỉ có cung màu đỏ nằm giữa hai điểm đó. Khi cạnh của góc quay ngược chiều kim đồng hồ từ $\frac{\pi }{6}$ đến $\frac{5\pi }{6}$, sin lớn hơn một phần hai. Khi ra khỏi cung này, sin nhỏ hơn một phần hai.

Các đầu mút không thuộc tập nghiệm, vì vậy trên hình chúng là các chấm tròn rỗng. Tại đó sin đúng bằng $\frac{1}{2}$, mà ta cần lớn hơn hẳn (bất đẳng thức chặt). Như vậy, trên một vòng ta được khoảng

$$(\frac{\pi }{6};\frac{5\pi }{6}).$$

Nhưng sin là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π: sau mỗi vòng quay trọn vẹn, mọi thứ lặp lại. Vì vậy ta cộng 2kπ vào cả hai đầu mút và được kết quả

$$x\in (\frac{\pi }{6}+2k\pi ;\frac{5\pi }{6}+2k\pi ),$$

trong đó k ∈ ℤ. Với k = 0 là cung trên hình, với k = 1 là cùng cung đó dịch đi một vòng, tức khoảng $(\frac{13\pi }{6};\frac{17\pi }{6})$. Tập nghiệm gồm vô số khoảng, hai khoảng liên tiếp luôn cách nhau 2π.

Để chắc chắn, ta kiểm tra lại. Thử $x=\frac{\pi }{2}$, thuộc khoảng trên. Ta có $\sin \frac{\pi }{2}=1$, và 1 đúng là lớn hơn một phần hai. Ngược lại, x = π không thuộc khoảng và sin π = 0, không lớn hơn một phần hai. Vậy kết quả đúng.

Khoảng đi qua số 0

Chuyển sang côsin:

$$\cos x>\frac{1}{2}$$

Côsin là hoành độ của điểm trên đường tròn, nên ta tìm các điểm nằm bên phải đường thẳng đứng cắt trục hoành tại điểm $\frac{1}{2}$. Trên vòng đầu tiên, phương trình $\cos x=\frac{1}{2}$ cũng có hai nghiệm, $\frac{\pi }{3}$ và $\frac{5\pi }{3}$ ($\frac{\pi }{3}$ là góc 60° trong bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, $\frac{5\pi }{3}$ là điểm đối xứng với nó qua trục hoành). Cung nằm bên phải đường thẳng bắt đầu ở điểm $\frac{5\pi }{3}$ phía dưới, đi qua 0 và kết thúc ở điểm $\frac{\pi }{3}$ phía trên.

Đến đây rất dễ bị cám dỗ viết

$$(\frac{5\pi }{3};\frac{\pi }{3}).$$

Cẩn thận, có bẫy! Đầu mút trái của khoảng phải nhỏ hơn đầu mút phải, nhưng $\frac{5\pi }{3}$ lại lớn hơn $\frac{\pi }{3}$. Khoảng như vậy là rỗng: không có số nào vừa lớn hơn $\frac{5\pi }{3}$ vừa nhỏ hơn $\frac{\pi }{3}$.

Cách sửa rất đơn giản. Thay cho $\frac{5\pi }{3}$, ta lấy cùng điểm đó trên đường tròn nhưng lùi lại một vòng:

$$\frac{5\pi }{3}-2\pi =-\frac{\pi }{3}.$$

Góc $-\frac{\pi }{3}$ chỉ cùng một vị trí trên đường tròn với $\frac{5\pi }{3}$, chỉ khác là đến đó bằng cách quay cùng chiều kim đồng hồ. Bây giờ đầu mút trái nhỏ hơn đầu mút phải, và kết quả là

$$x\in (-\frac{\pi }{3}+2k\pi ;\frac{\pi }{3}+2k\pi ),$$

trong đó k ∈ ℤ. Điều này cũng thấy rõ trên đồ thị hàm số côsin:

Đoạn màu đỏ quanh số 0 ứng đúng với khoảng khi k = 0. Đoạn bên phải, bắt đầu tại $\frac{5\pi }{3}$, là bản sao của nó với k = 1, tức là $(\frac{5\pi }{3};\frac{7\pi }{3})$. Đây cũng là cách viết đúng, chỉ với k khác. Chỉ sai khi hai đầu mút bị đổi chỗ.

Tang

Ví dụ cuối cùng:

$$\tan x\ge 1$$

Tang bằng 1 tại $x=\frac{\pi }{4}$. Trên mỗi nhánh, đồ thị hàm số tang luôn đồng biến, nên với x lớn hơn một chút, tang lớn hơn 1. Nhưng tang chỉ tăng đến $\frac{\pi }{2}$, tại đó tiến ra vô cực, và sau đó lại bắt đầu từ âm vô cực. Như vậy, trên một nhánh của đồ thị, mọi giá trị từ $\frac{\pi }{4}$ đến $\frac{\pi }{2}$ đều thoả mãn bất phương trình.

Ở đây người ta thường mắc hai lỗi. Lỗi thứ nhất là ở chu kì. Tang không lặp lại sau 2π như sin mà sau π. Ai theo thói quen cộng 2kπ sẽ mất một nửa tập nghiệm, chẳng hạn $x=\frac{5\pi }{4}$, nơi tang cũng bằng 1.

Lỗi thứ hai nằm ở đầu mút phải. Đầu mút trái $\frac{\pi }{4}$ thuộc tập nghiệm, vì bất phương trình không chặt và $\tan \frac{\pi }{4}=1$ thoả mãn nó. Nhưng đầu mút phải $\frac{\pi }{2}$ thì không bao giờ thuộc tập nghiệm, kể cả với bất phương trình không chặt. Tại đó tang không xác định, nên không thể lớn hơn hay bằng 1. Sẽ sai nếu viết đoạn $[\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}]$ chỉ vì đề bài có dấu ≥.

Vậy kết quả đúng là

$$x\in [\frac{\pi }{4}+k\pi ;\frac{\pi }{2}+k\pi ),$$

trong đó k ∈ ℤ. Để kiểm tra, thay $x=\frac{\pi }{3}$, thuộc khoảng ứng với k = 0. Ta có $\tan \frac{\pi }{3}=\sqrt{3}\approx 1,73$, lớn hơn 1.