Phương trình trùng phương

Ví dụ về phương trình trùng phương là phương trình 3x⁴ + 7x² + 5 = 0. Tổng quát, phương trình được gọi là phương trình trùng phương nếu có thể đưa về dạng sau bằng các phép biến đổi tương đương

$$a{x}^4+b{x}^2+c=0$$

trong đó a, b, c là các số thực và hệ số a khác 0. Phương trình này hơi giống phương trình bậc hai, chỉ khác là các số mũ lớn gấp đôi. Giải phương trình như vậy thế nào? Bằng một “mẹo” nhỏ để đưa nó về chính phương trình bậc hai. Mẹo đó gọi là đặt ẩn phụ. Ta đặt t = x², và ở mọi chỗ trong phương trình ban đầu có x², ta viết t. Ví dụ, xét phương trình trùng phương

$$x^4-2x^2-15=0$$

Thay mọi x² bằng t, đừng quên rằng x⁴ thực chất là x² · x², nên x⁴ = t²:

$$t^2-2t-15=0$$

Bây giờ thấy rõ vì sao cần đặt ẩn phụ: ta được một phương trình bậc hai thông thường. Có thể giải nó chẳng hạn bằng cách tính biệt thức hoặc bằng cách biến đổi về bình phương đầy đủ. Biệt thức bằng

$$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot (-15)=64$$

Do đó nghiệm của phương trình là

$$t_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}=\frac{2\pm \sqrt{64}}{2}=\frac{2\pm 8}{2}$$

Vậy phương trình có hai nghiệm:

$$t_1=5,t_2=-3$$

Đến đây ta đã biết nghiệm của phương trình bậc hai t² − 2t − 15 = 0. Còn phải tìm nghiệm của phương trình trùng phương ban đầu. Ta biết rằng nếu t bằng 5 hoặc −3 thì phương trình được thoả mãn. Nhưng ta không cần nghiệm theo t mà cần nghiệm theo x. Ta biết t = x², vì đã đặt ẩn phụ như vậy. Do đó, giải các phương trình

$$x^2=5\text{và}{x}^2=-3$$

ta sẽ được nghiệm của phương trình ban đầu theo x. Phương trình thứ nhất đơn giản: nếu x² = 5 thì

$$x_1=\sqrt{5},x_2=-\sqrt{5}$$

Phương trình thứ hai phức tạp hơn, vì x² = −3 vô nghiệm trên tập số thực; muốn tìm nghiệm thì phải xét trên tập số phức. Nếu chỉ tìm nghiệm trên tập số thực, có thể nói rằng phương trình trùng phương ban đầu có hai nghiệm thực $x_1=\sqrt{5}$ và $x_2=-\sqrt{5}$.