Phương trình chứa căn

Phương trình chứa căn (còn gọi là phương trình vô tỉ) là phương trình có ẩn nằm dưới dấu căn. Tên gọi “vô tỉ” xuất phát từ việc trong phương trình có căn thức, mà căn thức thường cho các số vô tỉ. Chẳng hạn phương trình sau:

$$\sqrt{x+3}=5$$

Để khử căn, ta bình phương hai vế của phương trình. Phép bình phương và phép khai căn triệt tiêu nhau, vì ${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+3}& =& 5{/}^2\\ x+3& =& 25/-3\\ x& =& 22\end{array}$$

Để chắc chắn, ta thử lại: thay kết quả riêng vào vế trái (VT) và riêng vào vế phải (VP) của phương trình ban đầu rồi so sánh.

$$\begin{array}{rcl}VT& =& \sqrt{22+3}=\sqrt{25}=5\\ VP& =& 5\end{array}$$

Ta được VT = VP, khớp. Bước thay số này trông như cẩn thận quá mức, nhưng với phương trình chứa căn, nó là một phần của lời giải, quan trọng như chính phép bình phương; thiếu nó thì chưa có kết quả. Toàn bộ cách làm gồm bốn bước: cô lập căn thức, bình phương hai vế, giải phương trình thu được và cuối cùng thử lại.

Vì sao bắt buộc phải thử lại

Bình phương hai vế không phải là phép biến đổi tương đương. Nếu hai số bằng nhau thì bình phương của chúng bằng nhau, nhưng điều ngược lại không đúng: 3 ≠ − 3, trong khi 3² = (−3)² = 9. Vì vậy bình phương có thể tạo ra một phương trình có nhiều nghiệm hơn phương trình ban đầu. Xét phương trình

$$\sqrt{x+2}=x.$$

Bình phương hai vế và chuyển tất cả sang một vế:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+2}& =& x{/}^2\\ x+2& =& x^2/-x-2\\ 0& =& x^2-x-2\end{array}$$

Ta được một phương trình bậc hai. Phân tích thành (x − 2)(x + 1) = 0, các giá trị tìm được là x = 2 và x = −1. Đến lượt thử lại, trước hết với số 2:

$$\begin{array}{rcl}VT& =& \sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2\\ VP& =& 2\end{array}$$

Hai vế bằng nhau, VT = VP, vậy 2 là nghiệm. Còn −1 thì sao?

$$\begin{array}{rcl}VT& =& \sqrt{-1+2}=\sqrt{1}=1\\ VP& =& -1\end{array}$$

Vế trái bằng 1, vế phải bằng −1, nên VT ≠ VP. −1 không phải là nghiệm, dù phép tính đã “trung thực” cho ra nó. Phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.

Nghiệm ngoại lai này từ đâu ra? Hình vẽ cho thấy rõ nhất. Vế trái của phương trình là hàm số $y=\sqrt{x+2}$ (màu đỏ), vế phải là đường thẳng y = x (màu xanh dương). Nghiệm của phương trình là chỗ hai đường cắt nhau, và đó chỉ là điểm (2; 2), tức là x = 2.

Đường nét đứt màu xám là đồ thị hàm số $y=-\sqrt{x+2}$. Khi bình phương cả $y=\sqrt{x+2}$ và $y=-\sqrt{x+2}$, dấu trừ biến mất và cả hai đều cho cùng một y² = x + 2. Như vậy, phép bình phương gộp hai phương trình $\sqrt{x+2}=x$ và $-\sqrt{x+2}=x$ làm một, và phương trình bậc hai tìm ra giao điểm của cả hai. Đường cong màu xám gặp đường thẳng tại điểm (−1; −1), và −1 của ta xuất phát chính từ đó. Chỉ có bước thử lại mới phát hiện chắc chắn “kẻ lạ” như vậy.

Hình vẽ còn cho thấy một điều nữa: cả hai đồ thị hàm căn, màu đỏ và màu xám, đều chỉ bắt đầu từ x = −2. Biểu thức dưới dấu căn không được âm, nên phương trình chỉ có nghĩa khi x ≥ − 2. Giá trị ngoại lai −1 lại nằm trong phạm vi này, nên điều kiện xác định không loại được nó. Chỉ có bước thử lại mới làm lộ ra nó.

Trước hết cô lập căn thức

Xét phương trình tiếp theo

$$\sqrt{2x-3}+3=x.$$

Rất dễ bị cám dỗ bình phương ngay vế trái cùng với số 3. Nhưng bình phương của một tổng không tính theo từng hạng tử, (a + b)² = a² + 2ab + b², nên ta sẽ được

$${(\sqrt{2x-3}+3)}^2=2x-3+6\sqrt{2x-3}+9$$

và căn thức vẫn còn trong phương trình, chỉ ở dạng xấu hơn. Vì vậy trước hết cô lập căn thức ở một vế, rồi mới bình phương:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{2x-3}+3& =& x/-3\\ \sqrt{2x-3}& =& x-3{/}^2\\ 2x-3& =& x^2-6x+9/-2x+3\\ 0& =& x^2-8x+12\end{array}$$

Vế phải được bình phương theo cùng hằng đẳng thức, (x − 3)² = x² − 6x + 9. Phương trình bậc hai phân tích thành (x − 6)(x − 2) = 0, cho các giá trị x = 6 và x = 2. Thử lại, bắt đầu với số 6:

$$\begin{array}{rcl}VT& =& \sqrt{2\cdot 6-3}+3=\sqrt{9}+3=6\\ VP& =& 6\end{array}$$

Có VT = VP, số 6 thoả mãn. Bây giờ đến số 2:

$$\begin{array}{rcl}VT& =& \sqrt{2\cdot 2-3}+3=\sqrt{1}+3=4\\ VP& =& 2\end{array}$$

4 không bằng 2, VT ≠ VP. Cẩn thận, có bẫy! Phương trình chỉ có nghiệm x = 6.

Vì sao số 2 không qua được bước thử lại? Sau khi cô lập căn thức, ta có $\sqrt{2x-3}=x-3$. Căn bậc hai không bao giờ âm, nên phương trình chỉ có thể đúng với những x làm cho x − 3 ít nhất bằng 0. Với x = 2, vế phải bằng −1, mà không căn bậc hai nào cho giá trị đó. Có thể kiểm soát điều kiện này từ trước, nhưng thay số ở cuối thuận tiện hơn và phát hiện được mọi thứ cùng lúc.

Đôi khi không giá trị nào qua được bước thử lại. Phương trình $\sqrt{x}+5=1$ sau khi cô lập căn trở thành $\sqrt{x}=-4$. Bình phương hai vế, ta được x = 16, nhưng thử lại cho $VT=\sqrt{16}+5=9$ và VP = 1, tức là VT ≠ VP. Phương trình vô nghiệm; điều này lẽ ra đã rõ từ đầu, vì căn bậc hai không bao giờ bằng −4.

Hai căn thức

Khi phương trình có hai căn thức, một lần bình phương thường không đủ. Nhưng cách làm không thay đổi: cô lập, bình phương, và nếu còn căn thức thì lặp lại cả vòng. Thử với phương trình sau

$$\sqrt{x+5}-\sqrt{x}=1.$$

Không thể cô lập cả hai căn thức cùng lúc, nên ít nhất ta chuyển $\sqrt{x}$ sang vế phải để mỗi căn thức nằm ở một vế. Nếu bình phương hiệu ở vế trái, ta sẽ được tích $\sqrt{x+5}\cdot \sqrt{x}$, khiến lời giải phức tạp hơn nhiều. Như vậy ta bình phương thế này:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+5}& =& 1+\sqrt{x}{/}^2\\ x+5& =& 1+2\sqrt{x}+x\end{array}$$

Ở vế phải ta lại bình phương một nhị thức, nên xuất hiện hạng tử ở giữa $2\sqrt{x}$. May là các hạng tử bậc nhất ở hai vế triệt tiêu nhau và chỉ còn một căn thức:

$$\begin{array}{rcl}x+5& =& 1+2\sqrt{x}+x/-x-1\\ 4& =& 2\sqrt{x}/:2\\ 2& =& \sqrt{x}{/}^2\\ 4& =& x\end{array}$$

Ta đã bình phương hai lần, nên ở đây càng cần thử lại:

$$\begin{array}{rcl}VT& =& \sqrt{4+5}-\sqrt{4}=3-2=1\\ VP& =& 1\end{array}$$

VT = VP, khớp; phương trình có nghiệm x = 4.