Bất phương trình dạng tích và dạng thương

Tích của nhiều số là số dương khi không có thừa số nào bằng 0 và số các thừa số âm là số chẵn. Âm nhân âm được dương, nên các thừa số âm triệt tiêu dấu theo từng cặp. Nếu còn lại một số lẻ thừa số âm thì cả tích âm. Ý tưởng đơn giản này là nền tảng để giải mọi bất phương trình có một vế là tích hoặc thương, vế kia bằng 0.

Nếu đã đọc bài về bất phương trình bậc hai, bạn đã biết giải bất phương trình (x − 1)(x + 3) > 0: tìm các nghiệm 1 và −3 rồi xem biểu thức dương ở đâu. Bây giờ ta sẽ thấy cách làm đó áp dụng được cho số thừa số tuỳ ý, không chỉ hai.

Phương pháp xét dấu

Bắt đầu với bất phương trình sau:

$$(x+2)(x-1)(x-3)>0.$$

Ta sẽ không nhân phá ngoặc, vì khi đó được một đa thức bậc ba, khó xử lí hơn nhiều. Ngược lại, dạng tích là điều thuận lợi nhất có thể.

Trước hết tìm các nghiệm của từng thừa số, tức là các số làm cho một thừa số nào đó bằng 0. Cho từng biểu thức trong ngoặc bằng 0:

$$\begin{array}{rcl}x+2& =& 0\Rightarrow x=-2\\ x-1& =& 0\Rightarrow x=1\\ x-3& =& 0\Rightarrow x=3\end{array}$$

Các nghiệm này chia trục số thành bốn khoảng: (−∞; −2), (−2; 1), (1; 3) và (3; +∞). Bên trong mỗi khoảng, không biểu thức trong ngoặc nào đi qua 0, nên cũng không đổi dấu. Vì vậy chỉ cần chọn một số trong mỗi khoảng và xác định dấu của từng biểu thức trong ngoặc.

• Trong khoảng (−∞; −2), thử chẳng hạn x = −3. Cả ba biểu thức trong ngoặc đều âm: (−1) · (−4) · (−6). Ba thừa số âm là số lẻ, nên tích âm.
• Trong khoảng (−2; 1), thay số 0: 2 · (−1) · (−3). Hai thừa số âm, tích dương.
• Trong khoảng (1; 3), dùng số 2: 4 · 1 · (−1). Một thừa số âm, tích âm.
• Trong khoảng (3; +∞), thử số 10: mọi biểu thức trong ngoặc đều dương, nên tích cũng dương.

Bảng xét dấu cho thấy điều này rõ ràng. Mỗi dòng là một biểu thức trong ngoặc, dòng dưới cùng là cả tích, các khoảng mà tích dương được tô màu đỏ:

Ta cần tìm khi nào tích lớn hơn 0. Bản thân các điểm −2, 1 và 3 không thuộc tập nghiệm, vì tại đó tích bằng 0, mà 0 không lớn hơn 0. Tập nghiệm là

$$x\in (-2;1)\cup (3;+\mathrm{\infty }).$$

Thử lại: với x = 4 ta được 6 · 3 · 1 = 18, đúng là một số dương.

Kết quả này cũng thấy được trên đồ thị hàm số y = (x + 2)(x − 1)(x − 3). Đồ thị cắt trục hoành đúng tại các điểm này, và giữa hai điểm liên tiếp, đồ thị nằm hoàn toàn trên hoặc hoàn toàn dưới trục hoành. Ở những chỗ đồ thị nằm trên trục, tích dương; các phần này được tô màu đỏ:

Dấu không nhất thiết xen kẽ

Ở ví dụ trên, dấu xen kẽ đều đặn: âm, dương, âm, dương. Điều đó dễ khiến ta chỉ xét dấu trên một khoảng rồi tự động đổi dấu ở các khoảng còn lại. Không nên làm vậy. Xét bất phương trình

$$(x-1{)}^2(x+2)\ge 0.$$

Các thừa số bằng 0 tại 1 và −2, ta có ba khoảng. Thử mỗi khoảng một số:

• x = −3: (−4)² · (−1) = 16 · (−1) = −16, âm,
• x = 0: (−1)² · 2 = 2, dương,
• x = 2: 1² · 4 = 4, dương.

Khi đi qua số 1, dấu không đổi. Lí do là bình phương: (x − 1)² là bình phương, luôn dương hoặc bằng 0, bất kể bên trong là gì. Vì vậy thừa số có số mũ chẵn không bao giờ làm đổi dấu của tích. Nếu chỉ đổi dấu xen kẽ, ở khoảng cuối ta sẽ được dấu trừ và đánh mất một phần lớn tập nghiệm.

Vậy biểu thức dương trên (−2; 1) và trên (1; +∞). Nhưng bất phương trình là “lớn hơn hoặc bằng”, nên ta lấy thêm các điểm làm biểu thức bằng 0. Đó là cả hai điểm −2 và 1. Như vậy số 1 thuộc tập nghiệm nhờ dấu bằng, và hai khoảng nhập lại thành một:

$$x\in [-2;+\mathrm{\infty }).$$

Chú ý bất đẳng thức chặt: với (x − 1)²(x + 2) > 0 thì số 1 không thuộc tập nghiệm, và ta được (−2; 1) ∪ (1; +∞), tức là một khoảng bị “thủng” một điểm.

Dạng thương

Với phân thức, cách làm hoàn toàn tương tự, vì thương có cùng dấu với tích: thương dương khi tử và mẫu cùng dấu. Giải bất phương trình

$$\frac{x+2}{x-4}\le 0.$$

Tìm nghiệm của cả tử lẫn mẫu: x = −2 và x = 4. Thay mỗi khoảng một số:

• x = −3: $\frac{-1}{-7}$, dương,
• x = 0: $\frac{2}{-4}$, âm,
• x = 5: $\frac{7}{1}$, dương.

Ta tìm các giá trị âm hoặc bằng 0. Phân thức âm trên khoảng (−2; 4). Phân thức bằng 0 khi tử bằng 0, tức là tại x = −2, và giá trị này thuộc tập nghiệm. Nhưng số 4 thì không bao giờ thuộc tập nghiệm, dù bất phương trình có dấu gì đi nữa. Với x = 4, mẫu bằng 0, mà không thể chia cho 0. Vì vậy các nghiệm của mẫu luôn bị loại.

Trên hình, điều này thể hiện qua các chấm tròn. Chấm tròn đặc tại −2 nghĩa là số đó thuộc tập nghiệm, chấm tròn rỗng tại số 4 nghĩa là không. Kết quả là

$$x\in [-2;4).$$

Không nhân hai vế với mẫu

Phương pháp xét dấu chỉ dùng được khi một vế của bất phương trình bằng 0. Xét bất phương trình

$$\frac{2x-1}{x+1}\ge 1.$$

Rất dễ bị cám dỗ nhân hai vế với mẫu x + 1, được 2x − 1 ≥ x + 1 và suy ra x ≥ 2. Nhưng ta không biết x + 1 dương hay âm, mà khi nhân với số âm thì phải đổi chiều bất đẳng thức. Vì vậy đó không phải là phép biến đổi tương đương, và một phần tập nghiệm đã bị mất. Xem thêm trong bài về bất phương trình bậc nhất.

Cách làm đúng là chuyển tất cả sang một vế:

$$\frac{2x-1}{x+1}-1\ge 0$$

Viết số 1 dưới dạng phân thức có cùng mẫu:

$$\frac{2x-1}{x+1}-\frac{x+1}{x+1}\ge 0$$

Rồi trừ các phân thức:

$$\frac{x-2}{x+1}\ge 0$$

Các nghiệm của tử và mẫu là 2 và −1. Với x = −2 ta được $\frac{-4}{-1}=4$, dương. Với x = 0 ta được $\frac{-2}{1}$, âm. Với x = 3 ta được $\frac{1}{4}$, dương. Số 2 thuộc tập nghiệm (tại đó phân thức bằng 0), còn −1 thì không, vì đó là nghiệm của mẫu. Vậy tập nghiệm là

$$x\in (-\mathrm{\infty };-1)\cup [2;+\mathrm{\infty }).$$

Để kiểm chứng rằng phép nhân với mẫu đã làm mất nghiệm, thay x = −2 vào bất phương trình ban đầu: $\frac{-5}{-1}=5$, và 5 lớn hơn 1. Đúng.