Diện tích đa giác đều

Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau, chẳng hạn hình vuông. Ví dụ, bát giác đều trông như sau:

Làm thế nào để tính diện tích bát giác đều này nếu biết độ dài cạnh? Lấy ví dụ cạnh dài a = 10. Ta chia bát giác thành 8 tam giác bằng nhau:

Công việc nhờ vậy đơn giản hơn: chỉ cần tính diện tích một tam giác rồi nhân với 8 là được diện tích cả bát giác. Ta biết gì về các tam giác này? Chúng là tam giác cân: hai cạnh xuất phát từ tâm O luôn dài bằng nhau, còn cạnh của bát giác có độ dài khác (chỉ lục giác đều mới chia được thành các tam giác có ba cạnh bằng nhau). Như vậy cạnh FO dài bằng cạnh EO.

Góc ở đỉnh O của mỗi tam giác, chẳng hạn góc ∠FOE, bằng bao nhiêu? Tất cả các tam giác này bằng nhau, nên mọi góc ở đỉnh O phải bằng nhau. Mặt khác, tổng tất cả các góc này bằng 360°, tức là một vòng tròn trọn vẹn. Vì vậy góc ∠FOE phải bằng 360° chia cho số góc, tức là chia cho số tam giác.

$$\mathrm{\angle }FOE=\frac{{360}^{\circ }}{8}={45}^{\circ }$$

Vì tổng ba góc trong tam giác bằng 180° và tam giác này là tam giác cân, hai góc còn lại phải bằng nhau và bằng 67,5°:

Bây giờ tính diện tích tam giác cân này thế nào? Theo đề bài, độ dài cạnh FE là FE = 10. Ta kẻ đường cao của tam giác đi qua điểm O:

Đoạn thẳng OH_s chia tam giác thành hai tam giác nhỏ bằng nhau, đối xứng với nhau qua OH_s. Ta sắp xếp lại các tam giác một chút: lấy tam giác FOH_s rồi chuyển đi sao cho hình mới là một hình chữ nhật:

Hình chữ nhật OF₁EH_s có diện tích bằng diện tích tam giác FOE ban đầu. Mà diện tích hình chữ nhật bằng tích độ dài hai cạnh của nó:

$$S_{◻}=h_s\cdot H_{s}E$$

Độ dài đoạn H_sE thì ta biết: nó bằng nửa cạnh FE, mà theo đề bài (đó là cạnh của bát giác) FE = 10. Vậy H_sE = 5. Chiều cao h_s thì khó hơn. Vì tam giác H_sOE là tam giác vuông nên có thể dùng các hàm số lượng giác. Góc ∠H_sOE bằng nửa góc ∠FOE ban đầu, tức là

$$\mathrm{\angle }{H}_{s}OE=\frac{\mathrm{\angle }FOE}{2}=\frac{{45}^{\circ }}{2}=22,5^{\circ }$$

Ta dùng tính chất: côtang của một góc nhọn bằng tỉ số giữa cạnh góc vuông kề và cạnh góc vuông đối. Cho gọn, kí hiệu góc ∠H_sOE bằng chữ Hy Lạp α:

$$\cot \alpha =\frac{h_s}{H_{s}E}$$

Từ đẳng thức này cần tìm h_s, nên ta nhân hai vế với H_sE và được:

$$\cot \alpha \cdot H_{s}E=h_s$$

Vậy là đã có công thức tính chiều cao. Thay số:

$$\begin{array}{rcl}{h}_s& =& \cot \alpha \cdot H_{s}E\\ & \approx & \mathrm{2,414}\cdot 5\\ & \approx & 12\end{array}$$

Chiều cao dài xấp xỉ 12. Diện tích hình chữ nhật, cũng là diện tích tam giác, bằng

$$S_{\mathrm{△}}=h_s\cdot H_{s}E$$

Thay số, ta có:

$$S_{\mathrm{△}}=12\cdot 5=60$$

Mỗi tam giác có diện tích xấp xỉ 60. Có tất cả 8 tam giác, nên bát giác đều cạnh a = 10 có diện tích xấp xỉ

$$S=8\cdot S_{\mathrm{△}}=480$$

Từ đây suy ra công thức thế nào? Với n-giác đều cạnh a bất kì, ta có

$$S=n\cdot S_{\mathrm{△}}$$

Còn cần công thức tổng quát cho $S_{\mathrm{△}}$:

$$S_{\mathrm{△}}=\frac{a}{2}\cdot \cot \alpha \cdot \frac{a}{2}$$

Góc α bằng nửa góc ở tâm O của tam giác, tức là

$$\alpha =\frac{{360}^{\circ }}{n\cdot 2}=\frac{{180}^{\circ }}{n}$$

Thay ngược lại:

$$S_{\mathrm{△}}=\frac{a}{2}\cdot \cot \frac{{180}^{\circ }}{n}\cdot \frac{a}{2}$$

Rút gọn một chút:

$$S_{\mathrm{△}}=\frac{1}{4}\cdot a^2\cdot \cot \frac{{180}^{\circ }}{n}$$

Bước cuối cùng chỉ cần nhân giá trị này với số cạnh của n-giác là được công thức cần tìm:

$$S=\frac{1}{4}\cdot a^2\cdot n\cdot \cot \frac{{180}^{\circ }}{n}$$

Máy tính: tính diện tích đa giác đều