Линейни неравенства

Линейните неравенства се решават с подобни преобразувания като обикновеното линейно уравнение. Линейното неравенство обикновено има такъв вид: ax + b>0 (или съответно със знак „по-малко“, „по-голямо или равно“ или „по-малко или равно“). Тогава е достатъчно само да преобразуваме неравенството в следния вид и резултатът е налице: x>−b/a. Разбира се, предполагаме, че a>0. При отрицателно a при делението знакът на неравенството би се обърнал и би излязло x<−b/a.

Обикновено линейно неравенство

Линейното неравенство може да се реши с еквивалентни преобразувания на неравенства.

• Прост пример може да изглежда така:

$$
    3x + 9 > 3
    $$

Първо преместваме всички изрази без неизвестното в дясната страна. Затова прибавяме към неравенството числото −9, с което получаваме неравенството:


$$\begin{eqnarray}
    3x + 9 - 9 &>& 3 - 9\\
    3x &>& -6
    \end{eqnarray}$$

След това разделяме цялото неравенство на три:

$$\begin{eqnarray}
    3x/3 &>& -6/3\\
    x &>& -2
    \end{eqnarray}$$

Това е решението на неравенството. Неравенството има решение за всички x > −2.

Неравенството бихме могли да решим и графично. Ако имаме неравенството 3x + 9 > 3, чертаем графиките на две функции – на лявата и дясната страна на неравенството. Получаваме функциите f(x) = 3x + 9 и g(x) = 3. Техните графики изглеждат така:

![Графики на функциите f(x) = 3x + 9 и g(x) = 3](linnerov1.svg)

Виждаме, че тези графики се пресичат в една точка x1, която има x-координата точно −2. Виждаме също, че за всички x > x1, т.е. за всички x от [интервала](interval) (−2; +∞), червената функция 3x + 9 е „над“ синята функция 3 (тук „над“ е в смисъл „има по-голяма y-координата“). Това съвпада с резултата, до който стигнахме преди малко.

• Понякога е удобно, ако имаш много минуси, да умножиш цялото неравенство по минус едно. В този случай освен самите стойности на неравенството трябва да обърнеш и знака – от по-голямо да направиш по-малко и обратно:

  $$\begin{array}{rcl}-x& <& -10/\cdot (-1)\\ x& >& 10\end{array}$$

  Това, разбира се, важи винаги, когато умножаваш цялото неравенство по отрицателно число. Ето още един бърз пример:

  $$\begin{array}{rcl}-3x+8& <& 2x-7\\ -5x& <& -15/\cdot (-\frac{1}{5})\\ x& >& 3\end{array}$$

  В първата стъпка както обикновено прибавяме към неравенството −2x, така че преместваме всички изрази с променливата в лявата страна. Същевременно изваждаме 8, с което преместваме константите в дясната страна. След това само умножаваме цялото неравенство с $-\frac{1}{5}$.

  За илюстрация разгледай графичното решение на неравенството, където чертаем двете функции f(x) = −3x + 8 и g(x) = 2x − 7.

  

  Виждаме, че червената графика на функцията −3x + 8 се намира под синята графика на функцията 2x − 7 винаги, когато x > 3.

Променлива в знаменателя

Линейно неравенство, което съдържа дроби с променлива в знаменателя, се решава малко по-сложно. Пример е неравенството:

$$\frac{2}{x}+3>4$$

Неравенството не можем да умножим по неизвестното в знаменателя, защото не знаем знака му. Ако стойността на променливата беше отрицателна, би трябвало да обърнем знака на неравенството. Затова не можем просто така да умножим неравенството по променливата в знаменателя. Това не би било еквивалентно преобразувание на неравенства.

Започваме да преобразуваме неравенството така, че да получим една дроб отляво и нула отдясно. Затова първо прибавяме към неравенството −4, с което получаваме вида:

$$\begin{array}{r}\frac{2}{x}+3>4\\ \frac{2}{x}-1>0\end{array}$$

Сега трябва да превърнем израза отляво в една дроб. Числото −1 умножаваме по дробта $\frac{x}{x}$, с което довеждаме двата израза до общ знаменател и после само събираме дробите:

$$\begin{array}{rcl}\frac{2}{x}-1& >& 0\\ \frac{2}{x}-\frac{x}{x}& >& 0\\ \frac{2-x}{x}& >& 0\end{array}$$

Сега стоим пред въпроса – кога дробта е положителна? Дробта е положителна, ако числителят и знаменателят са положителни, или ако числителят и знаменателят са отрицателни. Ако единият от тях е положителен, а другият отрицателен, дробта е отрицателна. Ако например имаме дробта $\frac{4}{3}$, цялата дроб представлява положително число. Ако имаме дробта $\frac{-3}{4}$, дробта представлява отрицателно число. Дробта $\frac{-3}{-4}$ пък отново представлява положително число, защото минусите се съкращават. В общия случай можем да напишем:

$$\begin{array}{rcl}\frac{\text{положително}}{\text{положително}}& =& \text{положително}\\ \frac{\text{положително}}{\text{отрицателно}}& =& \text{отрицателно}\\ \frac{\text{отрицателно}}{\text{положително}}& =& \text{отрицателно}\\ \frac{\text{отрицателно}}{\text{отрицателно}}& =& \text{положително}\end{array}$$

Следователно ще трябва да решим две системи неравенства. Започваме, като намерим кога числителят и знаменателят са положителни:

1. За да са числителят и знаменателят положителни, трябва да са изпълнени и двете неравенства едновременно:

   $$2-x>0\wedge x>0$$

   При първото неравенство само пренасяме 2 в другата страна и умножаваме по −1:

   $$\begin{array}{rcl}2-x& >& 0\\ -x& >& -2\\ x& <& 2\end{array}$$

   Имаме решението на първото неравенство. При второто неравенство x > 0 няма какво повече да се решава. В този момент трябва да направим сечение на тези решения, защото ни интересуват случаите, когато са изпълнени и двете условия едновременно, т.е. когато числителят е положителен и същевременно знаменателят е положителен. Първото решение можем да запишем като интервал (−∞; 2), второто решение можем да запишем като интервал (0; +∞). Сега правим сечение на тези интервали:

   $$(-\mathrm{\infty };2)\cap (0;+\mathrm{\infty })=(0;2)$$

   Това е едно решение на неравенството. Ако заместиш x с число от този интервал, неравенството ще е изпълнено. Например ако заместим x = 1, което е число от интервала (0; 2), получаваме неравенството $\frac{2}{1}+3>4$, т.е. 5 > 4. Сега остава да разгледаме случая, когато числителят и знаменателят са отрицателни.

2. Когато числителят и знаменателят трябва да са отрицателни, решаваме неравенствата:

   $$2-x<0\wedge x<0$$

   Отново бързо решаваме неравенството 2 − x < 0:

   $$\begin{array}{rcl}2-x& <& 0\\ -x& <& -2\\ x& >& 2\end{array}$$

   Второто решение отново е просто x < 0. Записваме в интервали: (2; +∞) и (−∞; 0) и правим сечение:

   $$(2;+\mathrm{\infty })\cap (-\mathrm{\infty };0)=\mathrm{\varnothing }$$

   Получихме празно множество. Какво означава това? Че дробта $\frac{2-x}{x}$ никога не може да има отрицателен числител и същевременно отрицателен знаменател.

Остава само да обединим двата предишни резултата и получаваме крайното множество S:

$$S=(0;2)\cup \mathrm{\varnothing }=(0;2)$$

Неравенството $\frac{2}{x}+3>4$ има решение за всички x от интервала (0; 2). Можем да начертаем графика, на която изобразяваме функциите $f(x)=\frac{2}{x}+3$ и g(x) = 4:

Виждаме, че червената графика на функцията $f(x)=\frac{2}{x}+3$ се намира над синята графика на функцията g(x) = 4 точно в интервала (0; 2).

Линейни неравенства с абсолютна стойност

Малко по-голяма веселба обикновено има с неравенствата, които съдържат абсолютна стойност. Трябва отделно да пресмятаме кога изразът под знака на абсолютната стойност е положителен и затова знакът не се променя и кога изразът е отрицателен и знакът се променя – възникват по същество две неравенства в едно. Ето прост пример:

$$|x+5|<12$$

Най-напред трябва да определим нулата, която е числото, при чието заместване целият израз под знака на абсолютната стойност е равен на нула и служи за определяне на интервалите, в които знакът се променя и в които не. Значи първо решаваме уравнението

$$x+5=0$$

Виждаме, че резултатът е x = −5. Този резултат разделя стойностите на x на два интервала. В единия функцията x + 5 приема положителни стойности, а във втория отрицателни. Така в интервала (−∞; −5) получаваме отрицателни числа, а в интервала [−5; +∞) положителни, по-точно неотрицателни. Например на първия ред е число от първия интервал, на втория – от втория:

$$\begin{array}{rcl}-8+5& =& -3\\ 13+5& =& 18\end{array}$$

Какво ни казва това? Че ако заместим x със стойност, по-голяма от минус пет, абсолютната стойност не ни променя резултата, защото x + 5 ще е положително число. Обратно, ако стойността на x е по-малка от минус пет, резултатът от x + 5 ще е отрицателен и абсолютната стойност ще го направи положителен. Затова в неравенството трябва да разграничаваме тези два случая.

Първо пресмятаме резултата в случая, когато вземаме x от интервала [−5; +∞). В този момент знакът не се променя, защото само премахваме абсолютната стойност.

$$\begin{array}{rcl}x+5& <& 12\\ x& <& 7\\ x& \in & (-\mathrm{\infty };7)\end{array}$$

Почти имаме първото решение. Трябва още да направим сечение с интервала, от който в момента избираме x. Движим се в интервала [−5; +∞), така че резултат на това линейно неравенство не може да бъде например x = −15, защото не принадлежи на нашия интервал. Затова трябва да направим сечение:

$$[-5;+\mathrm{\infty })\cap (-\mathrm{\infty };7)=[-5;7)$$

Това е първият резултат. Сега трябва да пресметнем резултата в случая, когато вземаме x от интервала (−∞; −5). В този интервал абсолютната стойност ни променя знака. Ако искаме да премахнем абсолютната стойност от неравенството, трябва сами да осигурим смяната на знака, т.е. умножаваме израза под абсолютната стойност по числото −1, с което променяме знака на израза. Затова го преписваме така:

$$\begin{array}{rcl}|x+5|& <& 12\\ -(x+5)& <& 12\\ -x-5& <& 12\end{array}$$

Към неравенството прибавяме 5:

$$-x<17$$

И умножаваме по −1:

$$x>-17$$

Така получаваме резултата:

$$x\in (-17;+\mathrm{\infty })$$

Но отново както преди, стойността на x избираме от интервала (−∞; −5), така че трябва още да направим сечение на този интервал с нашия резултат:

$$(-17;+\mathrm{\infty })\cap (-\mathrm{\infty };-5)=(-17;-5)$$

Сега вече имаме двата резултата, които само обединяваме:

$$x\in [-5;7)\cup (-17;-5)=(-17;7)$$

За проверка можем да погледнем графиките на тези функции:

Още няколко думи за това кога да използваме затворен и кога отворен интервал. Ако имаме строго неравенство, т.е. x>0, използваме отворен интервал, защото x не може да е равно на нула. Ако неравенството е нестрого, например x ≥ 0, използваме затворен интервал, защото x може да е равно на нула. Например когато в неравенството, което решихме сега, заместиш x = 7, което „на косъм“ не е включено в решението на неравенството, получаваш:

$$\begin{array}{rcl}|x+5|& <& 12\\ (7+5)& <& 12\\ 12& <& 12\end{array}$$

Неравенството не е изпълнено, 12 не е по-малко от 12.