Логаритмични уравнения

Логаритмично уравнение е уравнение, в което неизвестното обикновено се крие в аргумента на логаритъм. Най-простото изглежда например така:

$${\log }_{2}x=3$$

Логаритъмът е показателят, на който трябва да повдигнем основата, за да получим аргумента. Следователно уравнението пита: на каква степен трябва да повдигнем двойката, за да получим x? На трета. Така че

$$x=2^3=8.$$

Същото показва и графиката. Търсим мястото, където графиката на функцията y = log₂ x пресича хоризонталната права y = 3:

Функцията log₂ x е растяща, така че пресича правата само веднъж и уравнението има единствено решение. В това е цялата тайна на логаритмичните уравнения: опитваме се всичко да приведем във вид, при който от едната страна има един логаритъм, а от другата число или също един логаритъм. Трикът е подобен на този при показателните уравнения, където търсехме еднакви основи.

Условия

Логаритъм съществува само от положителни числа. Колко е log₂(−4)? На каква степен да повдигнем двойката, за да получим −4? На никаква, всяка степен на двойката е положителна. От това следва, че аргументът на всеки логаритъм в уравнението трябва да е положителен.

Преобразуванията, които ще правим с логаритмите, обаче не винаги са еквивалентни и могат тихомълком да загубят това условие. Тогава излиза корен, за който първоначалното уравнение изобщо няма смисъл. Типична грешка: уравнението се решава механично, преписват се всички корени и не се проверява дали те изобщо могат да се заместят в логаритъма.

Можем да се защитим по два начина:

• в началото да определим условията, т.е. дефиниционното множество на уравнението, и накрая да отхвърлим корените, които не му принадлежат,
• или накрая да направим проверка и да заместим всеки корен в първоначалното уравнение.

Проверката е по-сигурна, защото разкрива и обикновена грешка в пресмятането. При логаритмичните уравнения освен това обикновено е кратка, така че си струва всеки път.

Потенциране

Ако успеем да приведем уравнението във вида

$${\log }_{a}f(x)={\log }_{a}g(x),$$

където от двете страни има логаритми с една и съща основа, можем просто да ги „зачеркнем“ и да решаваме уравнението

$$f(x)=g(x).$$

Това е позволено, защото логаритъмът при основа по-голяма от едно е растящ, а при по-малка – намаляващ, така че приема една и съща стойност само при един и същ аргумент. Тази стъпка се нарича потенциране. Внимавай обаче: зачеркването е позволено, едва когато от всяка страна има само един логаритъм и нищо друго. От уравнението lg x + lg 3 = lg 12 със зачеркване не се получава x + 3 = 12. Лявата страна първо трябва да се обедини в един логаритъм, както ще покажем в следващата част, и чак тогава излиза x = 4.

Сега да го опитаме на пример:

$$\lg (2x+3)=\lg (x+7)$$

Нека напомним, че lg означава десетичен логаритъм, т.е. логаритъм с основа десет. Основата е от двете страни една и съща, така че потенцираме и остава обикновено линейно уравнение:

$$\begin{array}{rcl}2x+3& =& x+7/-x\\ x+3& =& 7/-3\\ x& =& 4\end{array}$$

Проверка: отляво излиза lg(2 · 4 + 3) = lg 11, отдясно lg(4 + 7) = lg 11. Вярно е, двата аргумента са положителни, така че решението е x = 4.

Свойства на логаритмите

Често от едната страна стоят повече логаритми. Тогава трябва с помощта на свойствата на логаритмите да ги обединим в един. Нека разгледаме уравнението

$${\log }_{2}x+{\log }_2(x-2)=3.$$

Първо условията. Трябва да е изпълнено x>0 и едновременно x − 2>0, т.е. общо x>2.

Сборът на логаритми с една и съща основа е логаритъм от произведението, log_a u + log_a v = log_a(u · v), ако u и v са положителни. Следователно обединяваме лявата страна:

$${\log }_2(x(x-2))=3$$

Сега пак сме в началото: отляво един логаритъм, отдясно число, така че е достатъчно да използваме определението:

$$x(x-2)=2^3$$

Разкриваме скобата и прехвърляме осмицата отляво:

$$x^2-2x-8=0$$

Това вече е квадратно уравнение. Разлагаме лявата страна на множители (x − 4)(x + 2) = 0, което дава два корена:

$$x_1=4,x_2=-2$$

Капан. Числото −2 не изпълнява условието x>2, в първоначалното уравнение не може да се замести, защото log₂(−2) не съществува. Откъде се взе? От обединяването на логаритмите. Изразът x(x − 2) за x = −2 има стойност осем, т.е. е положителен, така че преобразуваното уравнение с него няма проблем. Първоначалното обаче има. С обединяването на логаритмите разширихме уравнението с числа, за които първоначалното няма смисъл.

Проверка за x = 4: log₂ 4 + log₂ 2 = 2 + 1 = 3. Вярно е, така че уравнението има единствено решение, x = 4.

Полагане

Понякога в уравнението се появява логаритъм на квадрат:

$${\lg }^{2}x-3\lg x+2=0$$

Записът lg² x означава (lg x)², т.е. първо логаритъм и чак след това втора степен, а не lg(x²). Условието е само x>0.

На пръв поглед изглежда страшно, но отблизо е предрешено квадратно уравнение. Въвеждаме полагането a = lg x:

$$a^2-3a+2=0$$

Разлагаме на (a − 1)(a − 2) = 0, така че a = 1 или a = 2. Още не сме готови, търсим все пак x, а не a. Затова се връщаме към полагането:

$$\lg x=1\Rightarrow x={10}^1=10$$

$$\lg x=2\Rightarrow x={10}^2=100$$

И двата корена са положителни, така че изпълняват условието. Проверка за x = 100: lg 100 = 2, така че 2² − 3 · 2 + 2 = 4 − 6 + 2 = 0. За x = 10 излиза 1 − 3 + 2 = 0. Уравнението има две решения, x = 10 и x = 100.