정다각형의 넓이

정다각형은 정사각형처럼 모든 변의 길이가 같고 모든 각의 크기가 같은 다각형이다. 예를 들어 정팔각형은 다음과 같이 생겼다.

한 변의 길이를 알 때 이런 정팔각형의 넓이는 어떻게 구할까? 예를 들어 한 변의 길이가 a = 10이라고 하자. 정팔각형을 합동인 삼각형 여덟 개로 나누면 계산이 쉬워진다.

이제 삼각형 하나의 넓이를 구해 8을 곱하면 정팔각형 전체의 넓이를 얻는다. 이 삼각형들에 대해 무엇을 알고 있을까? 이 삼각형들은 이등변삼각형이다. 중심 O에서 뻗어 나가는 두 변의 길이는 항상 같고, 정팔각형의 변의 길이는 이와 다르다(모든 변의 길이가 같은 삼각형으로 나눌 수 있는 것은 정육각형뿐이다). 즉 변 FO의 길이는 변 EO의 길이와 같다.

꼭짓점 O에서 두 변이 이루는 각의 크기는 얼마일까? 예를 들어 ∠FOE의 크기는 얼마일까? 모든 삼각형이 합동이므로 꼭짓점 O에 모인 각은 모두 크기가 같아야 한다. 또 이 각들을 모두 더하면 360도, 즉 한 바퀴가 된다. 따라서 ∠FOE의 크기는 360을 각의 개수, 즉 삼각형의 개수로 나눈 값이다.

$$\mathrm{\angle }FOE=\frac{{360}^{\circ }}{8}={45}^{\circ }$$

삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180°이고 이 삼각형은 이등변삼각형이므로, 남은 두 각의 크기는 모두 67.5°이다.

그럼 이등변삼각형의 넓이는 어떻게 구할까? 변 FE의 길이는 문제에서 주어졌으므로 |FE| = 10이다. 이제 점 O를 지나는 삼각형의 높이를 그려 보자.

이 선분 OP_s는 삼각형을 작은 삼각형 두 개로 나누는데, 두 삼각형은 서로 대칭으로 뒤집혀 있을 뿐 합동이다. 삼각형을 조금 재배치해 보자. 삼각형 FOP_s를 옮겨서 직사각형을 만든다.

이 직사각형 OF₁EP_s의 넓이는 원래 삼각형 FOE의 넓이와 같다. 직사각형의 넓이는 두 변의 길이의 곱이다.

$$S_{◻}=|h_s|\cdot |P_{s}E|$$

선분 P_sE의 길이는 알고 있다. 변 FE의 길이의 절반이고, FE는 정팔각형의 한 변이므로 문제에서 |FE| = 10으로 주어졌다. 따라서 |P_sE| = 5이다. 높이 h_s를 구하는 것이 더 어렵다. 삼각형 P_sOE는 직각삼각형이므로 삼각함수를 이용할 수 있다. ∠P_sOE의 크기는 원래 각 ∠FOE의 크기의 절반이므로 다음과 같다.

$$\mathrm{\angle }{P}_{s}OE=\frac{\mathrm{\angle }FOE}{2}=\frac{{45}^{\circ }}{2}={22.5}^{\circ }$$

이제 코탄젠트를 이용한다. 직각삼각형에서 한 예각의 코탄젠트는 그 각을 낀 직각변의 길이를 마주 보는 직각변의 길이로 나눈 값이다. 보기 쉽도록 ∠P_sOE를 그리스 문자 α로 나타내자.

$$\cot \alpha =\frac{|h_s|}{|P_{s}E|}$$

이 식에서 |h_s|를 구해야 하므로 양변에 |P_sE|를 곱한다.

$$\cot \alpha \cdot |P_{s}E|=|h_s|$$

이제 높이를 나타내는 식을 얻었다. 값을 대입하면 다음과 같다.

$$\begin{array}{rcl}|h_s|& =& \cot \alpha \cdot |P_{s}E|\\ & \fallingdotseq & 2.414\cdot 5\\ & \fallingdotseq & 12\end{array}$$

높이는 약 12이다. 따라서 직사각형의 넓이, 즉 삼각형의 넓이는 다음과 같다.

$$S_{\mathrm{△}}=|h_s|\cdot |P_{s}E|$$

대입하면 다음을 얻는다.

$$S_{\mathrm{△}}=12\cdot 5=60$$

삼각형 하나의 넓이는 약 60이다. 삼각형이 모두 여덟 개이므로 한 변의 길이가 a = 10인 정팔각형의 넓이는 근사적으로 다음과 같다.

$$S=8\cdot S_{\mathrm{△}}=480$$

이 결과에서 일반적인 공식은 어떻게 얻을까? 한 변의 길이가 a인 일반적인 정n각형에서는 다음이 성립한다.

$$S=n\cdot S_{\mathrm{△}}$$

이제 $S_{\mathrm{△}}$의 일반적인 식만 구하면 된다.

$$S_{\mathrm{△}}=\frac{a}{2}\cdot \cot \alpha \cdot \frac{a}{2}$$

각 α는 삼각형이 중심 O에서 이루는 각의 절반이므로 다음과 같다.

$$\alpha =\frac{{360}^{\circ }}{n\cdot 2}=\frac{{180}^{\circ }}{n}$$

이를 다시 대입한다.

$$S_{\mathrm{△}}=\frac{a}{2}\cdot \cot \frac{{180}^{\circ }}{n}\cdot \frac{a}{2}$$

식을 조금 정리하면 다음과 같다.

$$S_{\mathrm{△}}=\frac{1}{4}\cdot a^2\cdot \cot \frac{{180}^{\circ }}{n}$$

마지막으로 이 값에 정n각형의 변의 개수를 곱하면 최종 공식을 얻는다.

$$S=\frac{1}{4}\cdot a^2\cdot n\cdot \cot \frac{{180}^{\circ }}{n}$$

계산기: 정n각형의 넓이 구하기