지수방정식

지수에 변수가 있는 방정식을 지수방정식이라고 한다. 일반적으로 지수방정식은 a, b>0일 때 a^f(x) = b^g(x) 꼴로 쓸 수 있다. 대표적인 예로 2^x = 8이 있다. 2의 세제곱이 8이므로 답이 3이라는 것은 꽤 분명하다. 이제 조금 더 수학적인 방법을 보자.

간단한 지수방정식

지수방정식을 풀 때는 방정식을 a = b인 a^f(x) = b^g(x) 꼴로 바꿀 수 있으면 아주 편하다. 밑이 같으면 지수가 같을 때 거듭제곱도 같다는 것이 분명하기 때문이다. 그러면 방정식 f(x) = g(x)만 풀면 된다. 앞의 예는 다음과 같이 바꿀 수 있다. 8을 2의 거듭제곱으로 쓰면 2^x = 2³이 되고, 밑이 같으므로 두 지수가 같다고 놓으면 바로 x = 3을 얻는다. 문제를 조금 어렵게 해서 2^2x = 8을 풀어 보자. 바꾸면 다시 2^2x = 2³이 되고 2x = 3을 풀면 답은 1.5이다.

또 하나의 간단한 경우는 방정식의 한쪽에 1이 있을 때이다. 다음 예를 보자.

$$5^{3x-2}=1$$

복잡해 보이지만, 거듭제곱의 기본 성질을 알면 1을 얻는 방법은 두 가지뿐이라는 것을 안다. 밑이 1이면 1의 몇 제곱이든 1이고, 또는 지수가 0이면 어떤 수의 0제곱이든 1이다. 여기서는 물론 두 번째 성질을 이용해 방정식을 5^{3x − 2} = 5⁰으로 바꾼다. 이제 앞 절에서 푼 꼴이 되었다. 지수를 비교하기만 하면 된다. 방정식 3x − 2 = 0이 나오는데, 이것은 간단한 일차방정식이다.

양변에 로그 취하기

밑이 같은 꼴로 바꿀 수 없을 때는 양변에 로그를 취해 볼 수 있다. 우리 선생님은 늘 “얘들아, 어떻게 해야 할지 모르겠으면 그냥 로그를 취해!”라고 하셨는데, 옳은 말씀이었다. 밑이 다른 지수방정식을 같은 밑으로 바꿀 수 없거나 그렇게 하는 것이 비효율적이면 양변에 로그를 취한다. 원래 방정식

$$a^{f(x)}=b^{g(x)}$$

에서 다음을 얻고,

$$\log a^{f(x)}=\log b^{g(x)}$$

로그의 공식에 따라 다음을 얻는다.

$$f(x)\cdot \log a=g(x)\cdot \log b.$$

그러면 다음 예를 보자.

$$2^x\cdot 5^{2x}=3^{x-2}$$

밑이 같지 않고 같게 만들 수도 없으므로 양변에 로그를 취한다.

$$\log (2^x\cdot 5^{2x})=\log (3^{x-2})$$

이제 로그의 성질을 이용해 첫 번째 괄호를 “풀어 쓴다”.

$$\log 2^x+\log 5^{2x}=\log 3^{x-2}$$

다시 로그의 성질을 이용해 지수를 로그 앞으로 “옮긴다”.

$$x\cdot \log 2+2x\cdot \log 5=(x-2)\log 3$$

우변을 전개한다.

$$x\cdot \log 2+2x\cdot \log 5=x\log 3-2\log 3$$

미지수가 있는 항을 좌변으로 이항한다.

$$x\cdot \log 2+2x\cdot \log 5-x\cdot \log 3=-2\log 3$$

이어서 x로 묶는다.

$$x(\log 2+2\log 5-\log 3)=-2\log 3$$

x에 대해 정리한다.

$$x=\frac{-2\log 3}{\log 2+2\log 5-\log 3}$$

이것이 사실상 답이다. 로그의 성질을 한 번 더 적용해 2log 5를 log 5² = log 25로 바꿀 수도 있지만, 결과로 할 수 있는 것은 정말 이것이 마지막이다.

치환

지수방정식은 치환을 이용해 풀 수도 있다. 예를 보자.

$$7^{2x}+7^x-6=0.$$

예를 들어 a = 7^x으로 놓는다. 원래 방정식의 7^x을 a로 바꾸면 다음과 같은 (더 이상 지수방정식이 아닌) 방정식이 나온다.

$$a^2+a-6=0.$$

이것은 간단한 이차방정식이다. 근은 2와 −3이다.

이 근을 치환한 식 a = 7^x에 대입한다. 즉 2 = 7^x이다. 양변에 로그를 취하면

$$\log 2=x\cdot \log 7$$

이고, x에 대해 정리하면 다음과 같다.

$$x=\frac{\log 2}{\log 7}$$

두 번째 근은 음수이므로 대입할 필요가 없다. 대입하면 진수가 음수인 로그가 나오는데, 그런 로그는 존재하지 않는다. 이렇게 지수방정식의 답이 나왔다.

예제

다음 지수방정식을 푸시오.

$$2^{3x-4}=8^{2x+1}.$$

한눈에 보아도 양변의 밑이 같지 않다. 아쉽다. 하지만 다시 보면 밑을 같게 만드는 방법이 분명히 보인다. 8 대신 8과 같은 2³으로 계산하면 된다. 거듭제곱의 거듭제곱 공식을 이용하면 다음과 같다.

$$\begin{array}{rcl}{2}^{3x-4}& =& 8^{2x+1}\\ 2^{3x-4}& =& 2^{3\cdot (2x+1)}\\ 2^{3x-4}& =& 2^{6x+3}\end{array}$$

이제 밑이 같으므로 간단한 일차방정식 3x − 4 = 6x + 3을 풀면 된다.

$$\begin{array}{rcl}3x-4& =& 6x+3\\ -3x& =& 7\\ x& =& -\frac{7}{3}\end{array}$$

다음 지수방정식을 푸시오.

$$5^x\cdot 2^x={100}^{x-1}.$$

이번에도 밑이 같지 않다. 하지만 어떻게든 바꿀 수 있을 것 같다. 좌변에는 지수가 같은 거듭제곱의 곱 공식을 적용하고, 우변에는 조금 전과 같은 공식을 적용해 100^{x − 1}을 10^{2(x − 1)}으로 바꾼다.

$$\begin{array}{rcl}{5}^x\cdot 2^x& =& {100}^{x-1}\\ {10}^x& =& {10}^{2(x-1)}\\ {10}^x& =& {10}^{2x-2}\end{array}$$

다시 밑이 같아졌으므로 보통의 일차방정식을 풀면 된다.

$$\begin{array}{rcl}x& =& 2x-2\\ -x& =& -2\\ x& =& 2\end{array}$$

다음 지수방정식을 푸시오.

$$3^x+3^{x+1}=108.$$

언제나처럼 먼저 밑을 같게 만들어야 한다. 여기서는 좌변의 식에서 3^x을 공통인수로 묶는다. 그다음 괄호 안을 더하면 간단한 방정식이 된다.

$$\begin{array}{rcl}{3}^x+3^{x+1}& =& 108\\ 3^x(1+3^1)& =& 108\\ 4\cdot 3^x& =& 108\\ 3^x& =& 27\end{array}$$

좌변을 정리했으니 이제 우변을 정리할 차례이다. 3의 세제곱이라는 것이 꽤 분명하다.

$$\begin{array}{rcl}{3}^x& =& 27\\ 3^x& =& 3^3\end{array}$$

이제 마지막 단계만 남았다. 밑이 같으므로 두 지수가 같다고 놓는다.

$$x=3$$

다음 지수방정식을 푸시오.

$$4^{2x}-6\cdot 4^x+8=0.$$

이번에는 지수방정식을 보통의 이차방정식으로 바꿔 보자. 치환 4^x = a를 이용하는 것이 가장 좋다.

$$a^2-6a+8=0$$

이제 보통의 이차방정식이 되었으므로 판별식과 근을 구한다.

$$\begin{array}{rcl}D& =& 36-4\cdot 8\\ a_{1,2}& =& \frac{(6\pm 2)}{2}\\ a_1& =& 4\\ a_2& =& 2\end{array}$$

이 결과를 다시 치환한 식에 대입해야 한다. 첫 번째 결과는 다음과 같다.

$$\begin{array}{rcl}{4}^x& =& 4\\ x& =& 1\end{array}$$

두 번째 결과는 다음과 같다.

$$\begin{array}{rcl}{4}^x& =& 2\\ 4^x& =& 4^{\frac{1}{2}}\\ x& =& \frac{1}{2}\end{array}$$