로그방정식

로그방정식은 보통 미지수가 로그의 진수에 들어 있는 방정식이다. 가장 간단한 것은 예를 들어 다음과 같다.

$${\log }_{2}x=3$$

로그는 진수를 얻으려면 밑을 몇 제곱해야 하는지를 나타내는 지수이다. 따라서 이 방정식은 2를 몇 제곱해야 x가 되는지 묻는 것이다. 세제곱이다. 따라서

$$x=2^3=8.$$

그래프로도 확인할 수 있다. 함수 y = log₂ x의 그래프가 가로 직선 y = 3과 만나는 곳을 찾는다.

함수 log₂ x는 증가함수이므로 직선과 한 번만 만나고, 방정식의 해는 하나뿐이다. 이것이 로그방정식의 핵심이다. 방정식을 언제나 한쪽에는 로그 하나, 다른 쪽에는 수나 로그 하나가 있는 꼴로 바꾸려고 한다. 밑을 같게 만들었던 지수방정식과 비슷한 방법이다.

조건

로그는 양수에 대해서만 정의된다. log₂(−4)는 얼마일까? 2를 몇 제곱해야 −4가 될까? 그런 수는 없다. 2의 거듭제곱은 언제나 양수이다. 따라서 방정식에 있는 모든 로그의 진수는 양수여야 한다.

그런데 로그를 다루는 변형이 언제나 동치 변형인 것은 아니어서, 이 조건이 슬그머니 사라질 수 있다. 그러면 원래 방정식에서는 의미가 없는 근이 나온다. 흔한 실수는 방정식을 기계적으로 풀고 근을 모두 적은 다음, 그 근을 로그에 넣어도 되는지 확인하지 않는 것이다.

이것을 막는 방법은 두 가지이다.

• 처음에 조건, 즉 방정식의 정의역을 구하고, 마지막에 정의역에 속하지 않는 근을 버린다.
• 또는 마지막에 검산을 해서 각 근을 원래 방정식에 대입해 본다.

검산이 더 확실하다. 계산 실수도 찾아 주기 때문이다. 게다가 로그방정식의 검산은 보통 짧으므로 매번 해 볼 만하다.

진수 비교하기

방정식을 다음 꼴로 바꿀 수 있다면

$${\log }_{a}f(x)={\log }_{a}g(x),$$

즉 양변에 밑이 같은 로그가 있다면, 로그를 그냥 “지우고” 다음 방정식을 풀면 된다.

$$f(x)=g(x).$$

이렇게 해도 되는 이유는 로그가 밑이 1보다 크면 증가함수이고 1보다 작으면 감소함수이므로, 진수가 같을 때만 같은 값을 갖기 때문이다. 이렇게 밑이 같은 두 로그에서 진수를 비교하는 것이다. 하지만 주의하자. 양변에 로그가 하나씩만 있고 다른 것이 없을 때만 지울 수 있다. 방정식 log x + log 3 = log 12에서 로그를 지운다고 x + 3 = 12가 되지는 않는다. 다음 절에서 보듯이 먼저 좌변을 로그 하나로 합쳐야 하고, 그러면 x = 4가 나온다.

이제 예제로 연습해 보자.

$$\log (2x+3)=\log (x+7)$$

밑이 없는 log는 상용로그, 즉 밑이 10인 로그이다. 양변의 밑이 같으므로 진수를 비교하면 나머지는 보통의 일차방정식이다.

$$\begin{array}{rcl}2x+3& =& x+7/-x\\ x+3& =& 7/-3\\ x& =& 4\end{array}$$

검산: 좌변은 log(2 · 4 + 3) = log 11이고 우변은 log(4 + 7) = log 11이다. 같고 두 진수 모두 양수이므로 해는 x = 4이다.

로그의 성질 이용하기

한쪽에 로그가 여러 개 있는 경우가 많다. 그러면 로그의 성질을 이용해 하나로 합쳐야 한다. 다음 방정식을 보자.

$${\log }_{2}x+{\log }_2(x-2)=3.$$

먼저 조건을 구한다. x>0이고 동시에 x − 2>0이어야 하므로 합치면 x>2이다.

u와 v가 모두 양수일 때 밑이 같은 로그의 합은 곱의 로그이다. 즉 log_a u + log_a v = log_a(u · v)이다. 그래서 좌변을 합친다.

$${\log }_2(x(x-2))=3$$

다시 처음 상황이 되었다. 좌변에는 로그 하나, 우변에는 수가 있으므로 정의를 이용하면 된다.

$$x(x-2)=2^3$$

괄호를 전개하고 8을 좌변으로 이항한다.

$$x^2-2x-8=0$$

이것은 이차방정식이다. 좌변을 (x − 4)(x + 2) = 0으로 인수분해하면 두 근을 얻는다.

$$x_1=4,x_2=-2$$

함정이 있다. −2는 조건 x>2를 만족하지 않으므로 원래 방정식에 대입할 수 없다. log₂(−2)는 존재하지 않기 때문이다. 이 근은 어디서 왔을까? 로그를 합치는 과정에서 생겼다. 식 x(x − 2)는 x = −2일 때 값이 8, 즉 양수이므로 변형한 방정식에서는 문제가 없다. 하지만 원래 방정식에서는 문제가 된다. 로그를 합치는 변형 때문에 원래 방정식에서는 의미가 없는 수까지 해가 될 수 있게 된 것이다.

x = 4의 검산: log₂ 4 + log₂ 2 = 2 + 1 = 3이다. 맞으므로 방정식의 해는 x = 4 하나이다.

치환

방정식에 로그의 제곱이 나오는 경우도 있다.

$${\log }^{2}x-3\log x+2=0$$

log² x는 log(x²)이 아니라 (log x)², 즉 먼저 로그를 구하고 그다음 제곱한다는 뜻이다. 조건은 x>0뿐이다.

언뜻 보면 무시무시하지만, 잘 보면 이차방정식이 모양만 바꾼 것이다. a = log x로 치환한다.

$$a^2-3a+2=0$$

(a − 1)(a − 2) = 0으로 인수분해하면 a = 1 또는 a = 2이다. 아직 끝나지 않았다. 구하려는 것은 a가 아니라 x이다. 그래서 치환한 식으로 돌아간다.

$$\log x=1\Rightarrow x={10}^1=10$$

$$\log x=2\Rightarrow x={10}^2=100$$

두 근 모두 양수이므로 조건을 만족한다. x = 100의 검산: log 100 = 2이므로 2² − 3 · 2 + 2 = 4 − 6 + 2 = 0이다. x = 10이면 1 − 3 + 2 = 0이다. 방정식의 해는 x = 10과 x = 100 두 개이다.